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[BZOJ4518]征途
4518: [Sdoi2016]征途
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Input
Output
一个数,最小方差乘以 m^2 后的值
Sample Input
1 2 5 8 6
Sample Output
HINT
1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000
题解:
推式子的感觉真刺激呀....
我们复习一下方差的定义:数值与平均值之差的平方和的平均值
设s[i]为前缀和,设X0是平均值,则X0=s[n]/m
也就是说,V=((X1-X0)2+(X2-X0)2+......+(Xm-X0)2)/m
由于答案是V*m2,所以我们不妨把m2直接带上.
所以有:
ans=((X1-X0)2+(X2-X0)2+......+(Xm-X0)2)*m
=m*ΣXi2+m*X02*m-2*X0*m*ΣXi
=m*ΣXi2+s[n]2-2*s[n]2
=m*ΣXi2-s[n]2
这样我们就找到了一个很简洁的表达式
但是如果直接计算这个式子,你会发现推不出来,所以我们转化一下角度,转而计算ΣXi2的值.
我们可以维护一个数组f[i][j],表示在第j段路结尾,第i次休息的时候最小的ΣXi2,那么答案就是m*f[m][n]-s[n]2
那么f[i][j]=min{f[k][j-1]+(s[i]-s[k])2}.
分析一下复杂度,Ο(m*n*n),如果是极限数据会变成30003,这样就要t了
所以我们考虑优化,对于可能转移到i的2个位置k1与k2,k1优于k2的条件是什么?(公式恐惧症的同学不要跑啊......)
f[k1][j-1]+(s[i]-s[k1])2<f[k2][j-1]+(s[i]-s[k2])2
f[k1][j-1]-f[k2][j-1]<(s[i]-s[k2])2-(s[i]-s[k1])2
f[k1][j-1]-f[k2][j-1]<s[i]2-2*s[i]*s[k2]+s[k2]2-(s[i]2-2*s[i]*s[k1]+s[k1]2)
f[k1][j-1]-f[k2][j-1]<s[k2]2-s[k1]2-2*s[i]*s[k2]+2*s[i]*s[k1]
f[k1][j-1]-f[k2][j-1]+s[k1]2-s[k2]2<2*s[i]*(s[k1]-s[k2])
(f[k1][j-1]-f[k2][j-1]+s[k1]2-s[k2]2)/(s[k1]-s[k2])<2*s[i]
所以我们用一个单调队列维护就行啦,剩下的维护判断就比较简单了~
代码见下:
#include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; typedef long long LL; const int N=3010; LL len[N],n,m,s[N],f[N][N]; int q[N]; inline int min(int a,int b){return a<b?a:b;} inline double k(int j,int k1,int k2) { double a=(double)(f[j-1][k1]-f[j-1][k2]+s[k1]*s[k1]-s[k2]*s[k2]); return a/(double)(s[k1]-s[k2]); } int main() { scanf("%lld%lld",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&len[i]),s[i]=s[i-1]+len[i]; for(int j=1;j<=n;j++) f[1][j]=s[j]*s[j]; for(int i=2,h=1,t=1;i<=m;i++,h=1,t=1) { memset(q,0,sizeof(q)); for(int j=1;j<=n;j++) { while(h<t&&k(i,q[h+1],q[h])<2*s[j])h++; f[i][j]=f[i-1][q[h]]+(s[j]-s[q[h]])*(s[j]-s[q[h]]); while(h<t&&k(i,j,q[t])<k(i,q[t],q[t-1]))t--; q[++t]=j; } } printf("%lld",m*f[m][n]-s[n]*s[n]); }
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