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bzoj-4518 4518: [Sdoi2016]征途(斜率优化dp)

2024-08-25 00:53:46   218人阅读

题目链接：

4518: [Sdoi2016]征途

Description

Pine开始了从S地到T地的征途。
从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。
Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。
Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。
帮助Pine求出最小方差是多少。
设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。
 

Input

第一行两个数 n、m。
第二行 n 个数，表示 n 段路的长度
 

Output

 一个数，最小方差乘以 m^2 后的值

 

Sample Input

5 2
1 2 5 8 6

Sample Output

36

HINT

 

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

 
思路：
 
又是一个斜率优化dp,跟把n个数分成m块,平方和最小等效,然后就是斜率优化dp啦;
 
AC代码：
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=3e3+4;
int n,m,q[maxn],head=1,tail=1;
LL a[maxn],sum[maxn],dp[maxn][maxn];
inline double slope(int l,int r,int dep)
{
    double ratio;
    ratio=(double)(dp[r][dep]+sum[r]*sum[r]-dp[l][dep]-sum[l]*sum[l])/(double)(sum[r]-sum[l]);
    return ratio;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][1]=sum[i]*sum[i];
    for(int j=2;j<=m;j++)
    {
        head=tail=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            while(head<tail&&slope(q[head],q[head+1],j-1)<(double)2*sum[i])head++;//因为sum[i]是单调递增的;
            dp[i][j]=dp[q[head]][j-1]+(sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]]);
            while(head<tail&&slope(q[tail-1],q[tail],j-1)>slope(q[tail],i,j-1))tail--;
            q[++tail]=i;
        }
    }
    printf("%lld\n",m*dp[n][m]-sum[n]*sum[n]);
    return 0;
}

　　

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