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增强学习与马尔科夫决策过程
现有的机器学习算法根据模型的学习过程大致可以分为四类：监督式学习，无监督式学习，半监督式学习和增强学习。
① 监督式学习：从标记好的训练数据中进行模型的训练，常用来做分类和回归，例如逻辑回归、反向神经网络；
② 无监督式学习：根据数据的特征直接对数据的结构和数值进行归纳，常用来做聚类，例如周知的K-均值，谱聚类；
③ 半监督式学习：根据部分标记的和部分没有标记的训练数据进行模型的学习，常用来做回归和分类；
④ 增强式学习：作为今天要讨论的主角，是机器学习中最酷的分支之一，其通过不断的试错、反馈进行学习，常用来做序列决策或者控制问题，算法例子有Q-Learning、TD-Learning（Tempora Difference Learning）。
增强学习和人类学习的机制非常相近，在实际应用中也有这很Cool的表现，如直升机自动飞行、各种通过增强学习实现的打败人类最强选手的棋牌博弈机器，包括最近非常火的DeepMind将深度学习和增强学习融合实现的玩Atari游戏的超强程序。下面将结合一个实例，从增强学习的数学本质——马尔科夫决策过程进行阐述。
一个栗子
下面是摘自《人工智能：一种现代方法》中的一个例子：
假设一个智能体处于下图（a）中所示的4x3的环境中。从初始状态开始，它需要每个时间选择一个行动（上、下、左、右）。在智能体到达标有+1或-1的目标状态时与环境的交互终止。如果环境是确定的，很容易得到一个解:[上，上，右，右，右]。可惜智能体的行动不是可靠的（类似现实中对机器人的控制不可能完全精确），环境不一定沿这个解发展。下图（b）是一个环境转移模型的示意，每一步行动以0.8的概率达到预期，0.2的概率会垂直于运动方向移动，撞到（a）图中黑色模块后会无法移动。两个终止状态分别有+1和-1的回报，其他状态有-0.4的回报。现在智能体要解决的是通过增强学习（不断的试错、反馈、学习）找到最优的策略（得到最大的回报）。
上述问题可以看作为一个马尔科夫决策过程，最终的目标是通过一步步决策使整体的回报函数期望最优。下面介绍马尔科夫决策过程。
马尔科夫决策过程
一个马尔科夫决策过程（Markov Decision Processes, MDP）有一个五个关键元素组成{S,A,{Psa},γ,R},其中：
S：表示状态集合，例如上例中4x3的每个环境{(i,j)|i=1,2,3,4,j=1,2,3}。自动直升机系统中的所有可能的位置、方向等。
A：表示一组动作集合，例如上例中的（上、下、左、右），自动直升机系统中的让飞机向前，向后等。
Psa：状态转移概率，表示在当前s∈S状态下，通过执行动作a∈A后转移到其他状态的概率分布。例如上例中，P(1,1)上表示智能体在状态(1,1)执行向上的动作后转移到状态(1,2)，(2,1)的概率分布。
γ∈[0,1)：阻尼系数，表示的是随着时间的推移回报率的折扣。
R:S×A?R：回报函数，有时回报函数是只与S有关的函数，R重写为R:S?R。相当于上例中对每个状态上赋予的回报值。
MDP的动态过程如下：智能体在状态s0选择某个动作a0∈A，智能体根据概率Ps0a0转移到状态s1，然后执行动作a1，…如此下去我们可以得到这样的过程：
经过上面的转移路径，我们可以得到相应的回报函数和如下：
如果回报函数R只与S有关，我们上式可重新写作
我们的目标是选择一组最佳的动作，使得全部的回报加权和期望最大：
从上式可以发现，在t时刻的回报值是被打了γt倍折扣的，注意到γ<1，则越靠后的状态对回报和影响越小，为了得到最大期望回报，智能体将会尽量最先拿最大回报。
下图是上述内容的一个直观示意
下一部分将对上述过程进行进一步数学表示，以方便求解。
进一步数学表示
首先我们来定义策略，一个策略π就是一个从状态到动作的映射函数π:S?A。也就是，给定了当前状态s，根据策略π，也就确定了下一步应该执行的动作a=π(s)。
为每一个策略π我们顶一个相应的值函数（Value Function）
即给定初始状态s0和策略π后的累积折扣回报期望（Expected Sum Of Discounted Rewards）。
对于一个固定的策略，它的值函数Vπ满足贝尔曼等式（Bellman Equations）：
其中s′表示状态s执行动作π(s)后的下一个可能状态，其服从Psπ(s)分布。上式由两部分构成：即时回报R(s)及未来累积折扣回报期望Es′～Psπ(s)[Vπ(s′)]。
利用贝尔曼等式能够有效的解出Vπ（给定的策略π的回报值）。尤其，对于一个有限状态的MDP（|S|<∞），对每一个状态s我们都能写出这样的等式Vπ(s)，求解变为了解一个|S|个方程，|S|个未知数的线性方程组。
当然，我们求解Vπ的目的是为找到一个当前状态s下最优的行动策略π服务的（最优的策略下得到最优的值函数）。定义最优的值函数为：
其贝尔曼等式的形式为：
也可表示为增强学习中的Q函数形式：
其中Q(s,a)≡R(S)+γPsa(s′)V?(s′)，表示在s状态下执行动作a作为第一个动作时的最大累计折扣回报。
对应最优值函数的最优的策略为：
需要注意的是，π?有一个有趣的特性，即π?是针对的是所有的状态s的，确定了每一个状态s的下一个动作a，不管初始状态是哪一个状态，通过策略π?都会取得最大回报。
现在我们有了优化目标的数学表达（最优值函数，最优策略），下一部分讨论两种求解方法（针对有限状态、有限动作的MDP）。
值迭代方法和策略迭代方法
值迭代方法
算法步骤：
1 讲每一个状态s的值函数V(s)初始化为0
2 循环直至收敛{
对于每一个状态s，对V(s)做更新
V(s):=R(s)+maxa∈Aγ∑s′V(s′)
}
值迭代方法里面的内循环又有两种策略：同步迭代，异步迭代。同步迭代就是得到V(s)后不立即更新，等所有的状态s的V(s)都完成计算后统一更新。异步迭代就是对每个状态s得到新的V(s)后立即更新。两种都会使得V(s)收敛于V?(s)。求得最优的V?(s)后，可使用公式π?(s)=argmaxa∈A∑s′∈SPsa(s′)V?(s′)来求出相应的最优策略π?。
策略迭代方法
于值迭代方法不同，策略迭代法之间关注π，使π收敛到π?。
算法步骤：
1 随机初始化话一个S到A的映射π
2 循环直至收敛{
2.1 令V:=Vπ
2.2 对每一个状态s,对π(s)做更新
π(s):=argmaxa∈A∑s′Psa(s′)V(s′)
}
其中2.1步即为上述对于一个给定策略π利用贝尔曼等式求解Vπ的过程（求解|S|个方程，|S|个未知数的线性方程组）。
2.2是根据2.1步的结果，挑选出当前状态s下最优的动作a来更新π(s)。
两者比较
对于规模较小的MDP，策略迭代一般能够更快的收敛；但对于规模较大的MDP（状态多），值迭代更容易些（没有线性方程组的计算）。
MDP中的参数估计
到目前为止，我们讨论的MDP和MDP求解算法都是在已知状态转移概率Psa和回报函数R(s)的。在许多实际问题中，状态转移概率和回报函数不能显式的得到，本部分讲如何从数据中估计这些参数（通常S,A,γ是已知的）。
假设我们已知很多条状态转移路径如下：
其中s(j)i是i时刻第j条转移路径对应的状态，aji是sji状态要执行的动作。每条转移路径中的状态数都是有限的，在实际操作中每个转移路径要么进入终结状态，要不达到规定的步数后终结。
当我们获得了很多类似上面的转移路径后（样本），我们可以用最大似然估计来估计状态转移概率。
上式分子表示在状态s通过执行动作a后到达状态s′的次数，分母表示在状态s我们执行动作的次数。为避免分母为0的情况，当分母为0使，令Psa(s′)=1|S|。
对于未知的回报函数，我们令R(s)为在状态s下观察到的回报均值。
得到状态转移概率和回报函数的估值后，就简化为了前面部分讲述的问题，用第三部分将的值迭代或者策略迭代方法即可解决。例如我们将值迭代和参数估计结合到一块：
算法流程如下：
1 随机初始化话一个S到A的映射π
2 循环直至收敛{
2.1 在MDP中执行策略π一定次数
2.2 通过2.1得到的样本估计Psa（和R，需要的话）
2.3 使用上一节提到的值迭代方法和估计得到的参数来更新V
2.4 对于得到的V更新得到更优的策略π
}
其中2.3步，是一个循环迭代的过程。上一节中我们通过将V初始化为0然后进行迭代，当嵌套上述过程中后，如果每次都将V初始化为0然后迭代更新，速度回很慢。一个加速的方法是将V初始化我上次大循环中得到的V。
小结
至此我们讨论完了增强学习的数学本质————马尔科夫决策过程（MDP）的数学表示及求解过程（这里的MDP是非确定的MDP，即状态转移函数和回报函数是有概率的,，对于确定性的，求解会更简单些，感兴趣可参考[3]最后一章：增强学习）。全文很大部分是对Andrew Ng讲义[1]的翻译，加上了部分自己的理解。推荐大家根据参考文献进行进一步理解和学习。
参考文献
[1] 机器学习公开课-讲义-马尔科夫决策过程.Andrew Ng
[2] 机器学习公开课-视频-马尔科夫决策过程.Andrew Ng
[3] 人工智能：一种现代方法
[4] 机器学习.Tom M.Mitchell
[5] 看DeepMind如何用Reinforcement learning玩游戏
增强学习与马尔科夫决策过程