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一、同余

对于整数除以某个正整数的问题，如果只关心余数的情况，就产生同余的概念。

定义1 用给定的正整数m分别除整数a、b，如果所得的余数相等，则称a、b对模m同余，记作a≡b(mod m)，如 56≡0 （mod 8）。

举个例子：

3%2=1

5%2=1

则有：

(5-3)%=0

【同余性质】

1） 自反性

2) 传递性

3） 对称性

4） 若 a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m)

则 a+b ≡ b+ d(mod m)

    a - b ≡ b - d(mod m)

   ac ≡ bd (mod m);

PS：mod运算具有可加性，可减性，可乘性，就是没有可除性。

可乘性：a*b % n = (a % n)*(b % n) % n

定理1  整数a,b对模m同余的充要条件是 a-b能被m整除（即m|a-b）。

证  设a=mq1+r1, 0<=r1<m;

   b=mq2+r2, 0<=r2<m.

若a≡b(mod m)，按定义1，r1=r2,于是a-b=m(q1+q2),即有m|a-b.

反之，若m|a-b,即m|m(q1-a2)+r1-r2，则m|r1-r2，但|r1-r2|<m，故r1=r2,即a≡b(mod m)。

推论   a≡b(mod m)的充要条件是a=mt+b（t为整数）。

表示对模m同余关系的式子叫做模m的同余式，简称同余，同余式的记号是高斯（Gauss）在1801年首先使用的。

定理2  同余关系具有反身性、对称性与传递性，即

1）a≡a (mod m);

2）若a≡b (mod m), 则b≡a (mod m);

3）若a≡b (mod m), b≡c (mod m)，则a≡c (mod m).

定理3 若a≡b(mod m), c≡d (mod m),则

1）a+c≡b+d (mod m);

2）a-c≡b-d (mod m);

3）ac≡bd (mod m).

多于两个的同模同余式也能够进行加减乘运算。对于乘法还有下面的推论：

推论  若a≡b(mod m),n为自然数，则an≡bn (mod m)。

定理4 若ca≡cb(mod m), (c,m)=d, 且a,b为整数，则a≡b(mod m/d).

推论若ca=cb(mod m), (c,m)=1,且a,b为整数，则a≡b(mod m).

定理5 若a≡b (mod m),a≡b (mod n),则a≡b(mod [m,n]).

推论若a≡b(mod mi), i=1,2,…,n，则a≡b (mod [m1,m2,..,mn]).

例1 证明：正整数a是9的倍数必须且只须a的各位数码之和是9的倍数。

证  设a=a_n.10ⁿ+a_n-1.10^n-1+…+a₀

由10≡1 (mod 9)得10^k≡1(mod 9),k=0,1,2,…,n，

所以 a_k.10^k≡a_k (mod 9), k=0,1,2,…,n。

所以a≡a₀+a₁+...+a_n (mod 9)

因此 9|a的充要条件是 9| a₀+a₁+...+a_n  。

例2 设a=a_na_n-1…a₁a₀,求11|a的充要条件。

解由10≡-1 (mod 11),得10k≡(-1)k (mod 11), k=0,1,2,…,n

   而 a≡a₀-a₁+a₂-…+(-1)ⁿa_n (mod 11)

  因此 11|a的充要条件是11| a₀-a₁+a₂-…+(-1)ⁿa_n.

例3 求正整数a能被7整除的条件。

解  由于 1000≡-1 (mod 7)，从而1000k≡(-1)^k (mod 7), k=0,1,2,…,n,

 于是设a= a_na_n-1…a₁a₀ (1000)  这就有a≡a0-a1+a2-…+(-1)ⁿan (mod 7)

 因此 7|a的充要条件是a₀-a₁+a₂-…+(-1)ⁿa_n ≡0 (mod 7) 这里的ai为三位数（一千进制）.

 如当a=89101234579时，由于579-234+101-89=357≡0 (mod 7)，所以7|a。

定义2 如果m为自然数，集合Kr={x|x=mt+r,t是任意整数}，r=0,1,…,m

则称K0,K1,…,Km-1为模m的剩余类。

例如，模2的剩余类是偶数类与奇数类；模3的剩余类是:K0={…,-6,-3,0,3,6,…}，K1={…,-5,-2,1,4,7,…}，K2={…,-4,-1,2,5,8…}。

剩余类具有如下列比较明显的性质：

1）模m的剩余类K0，K1，……，Km-1都是整数的非空子集；

2）每个整数必属于且只属于一个剩余类；

3）两个整数属于同一个剩余类的充要条件是它们对模m同余。

定义3 从模m的每个剩余类中任取一个数，所得到的m个数叫做模m的完全剩余系。

对模m来说，它的完全剩余系是很多的，经常采用的是：

0,1,2,…,m-1;

1,2,3,…,m;

-(m-1)/2,…,-1,0,1,…,m/2   (m为奇数)，

-m/2+1,…,-1,0,1,…,m/2     (m为偶数)，

-m/2,…,-1,0,1,…,m/2-1     (m为偶数).

定理6  k个整数a1,a2,…,ak构成模m的完全剩余系的充要条件是k=m，且这m个数对模m两两不同余。

定理7   若x1,x2,…,xm 是模m的完全剩余系，（a,m）=1,b为整数，则ax1+b，ax2+b，…，axm+b也是模m的完全剩余系。

二.欧拉函数

定义1 在模m的完全剩余系中，所有与m互素的数叫做模m的简化剩余系。例如1，3，7，9是模10的一个简化剩余系。

定义2 若对任意的自然数m，用记号ф(m)表示0,1,2,…,m-1中与m互素的数的个数，则称ф(m)为欧拉函数。

例如ф(10)=4，ф(7)=6，ф(1)=1。

定理1 k个整数a1,a2,…,ak构成模m简化剩余系的充要条件是k=ф(m)，(ai,m)=1,i=1,2,…, ф(m),且这ф(m)个数对模m两两不同余。

定理2 若(a,m)=1，x1,x2,…,xф(m)是模m的简化剩余系，则ax1,ax2,…,axф(m)也是模m的简化剩余系。

定理3(欧拉定理) 若(a,m)=1，则a^ф(m) ≡1 (mod m)

证 设x₁,x_2,…,x_ф(m)是模m的简化剩余系，根据定理2，ax₁,ax₂,…,ax_ф(m)也是模m的简化剩余系。

由此可知x₁,x₂,…,x_ф(m)中任一个数必与ax₁,ax₂,…,ax_ф(m)中某一个数对模m同余；反之ax₁,ax₂,…,ax_ф(m)中任一个数必与x₁,x₂,…,x_ф(m)中某一个数对模m同余，这就有：

ax₁ax₂…ax_ф(m)≡x₁x₂…x_ф(m) (mod m),又(x₁x₂…x_ф(m),m)=1,所以a^ф(m) ≡1 (mod m)。

例1 已知x=h是使a^x≡1 (mod m)中成立的最小正整数，求证h|ф(m)。

证 由a^h-1=mt(t为整数)可知(a,m)=1，于是

a^ф(m) ≡1 (mod m)。

令ф(m)=hq+r,0<=r<h, q为自然数

代入上面的同余式，可得 a^r ≡1 (mod m),所以r=0，故h|ф(m)。

推论（费马小定理） 若p是素数，则

1） 当(a,p)=1时，a^p-1 ≡1 (mod p)；

2） a^p ≡a (mod p)

证 先证1）。由p是素数，知0,1,2,…,p-1中有p-1个数与p互素，于是ф(p)=p-1。又因为(a,p)=1，所以根据定理3得证1）。

再证2）。当(a,p)=1时，由1）知2)成立；当(a,p)不等于1时，p|a，余数同为0,2)也成立。

欧拉在1760年证明了定理3，故称为欧拉定理。费马在1640年提出了上面的推论，它的证明是欧拉在1736年完成的，这个推论通常叫做费马小定理。

例2 设a为整数，求证a⁵≡a(mod 30).

证 由于30=2.3.5，而依据费马小定理，有

a⁵≡a(mod 5) (1)

a³≡a(mod 3) (2)

a²≡a(mod 2) (3)

由(2)得 a⁵≡a³≡a(mod 3) （4）

由(3)得a⁵≡a⁴≡a²≡a(mod 2) (5)

于是由(1).(4),(5)，并且2,3,5两两互素，所以 a⁵≡a(mod 30).

定理4 若p是素数，则ф(pa)=p^a-p^a-1。 （ф(pa)的计算公式）

证 考虑模pa的完全剩余系0,1,2,…,p,…,2p,…,p^a-1 (1)

(1)式中与pa不互素的数只有p的倍数0,p,2p,…,(p^a-1–1)p,这共有p ^a-1个，于是(1)中与pa互素的数有p^a-p ^a-1个，所以ф(p^a)=p^a-p^a-1。

定理5 若(m,n)=1,则ф(mn)=ф(m)ф(n)。

推论 若正整数m1,m2,…mk两两互素，则ф(m1m2…mk)=ф(m1)ф(m2)…ф(mk).

定理6 若m的标准分解式为m=p₁^a1p₂^a2…p_k^ak,

则ф(m)=p₁^a1-1p₂^a2-1…p_k^ak-1(p₁-1)(p₂-1)…(p_k-1).

例3 设(n,10)=1,求证n101与n的末三位数相同。

证：为了证明n¹⁰¹-n≡0只要证明n¹⁰⁰≡1(mod 1000).

事实上由(n,125)=1,φ(125)= φ(5^3)=5^3-5^2=100，有n¹⁰⁰≡1(mod 125);

再由n是奇数知8|n^2-1，进而n^100≡1(mod 8),而(125,8)=1，得证。