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同余 模算术 中国剩余定理

2024-07-12 23:12:25   224人阅读

相关知识点：

1、a≡b(modc)，a,b关于模c同余  ,即a modc=b mod c ， 等价于a%c=b

2、如果a,b互质(a,b)=1,则可得a关于模b的逆 ax≡1(modb) 

3、关于余数的定理：

定理1 ：如果被除数加上（或减去）除数的整数倍，除数不变，则余数不变。
     定理2 ：如果被除数扩大（或缩小）几倍，除数不变，则余数也扩大（或缩小）同样的倍数。
     定理3： 如果整数a除以自然数b（b≠0），余数r仍不小于b，则r除以b的余数等于a除以b所得余数。（余数和被除数关于除数同余）

4.中国剩余定理：

设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，对于任意的正整数a1,a2,a3,..,ak
同余方程组：
x≡a1 （mod m1）
x≡a2 （mod m2）
...
x≡ak （mod mk)
必有解，
且解可写为
x≡M1P1a1+M2P2a2+....MkPkak  (mod m)
其中
M=m1m2m3....mk
Mi=M/mi,(1<=i<=k)

证明：令Mi=M/mi ,则Mi和mi互质，则(Mi,mi)=1,即 MiPi≡1(mod mi),                                         ——模逆
       等价于MiPi %mi=1,要使 MiPi%mi=ai，只要将被除数乘以a1（由定理2得）
易知同余方程组的解为x≡M1P1a1+M2P2a2+....MkPkak  (mod m)

算法模板：

int m[maxn],a[maxn];
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b) d=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
}
intChina(int r)
{
    int M,d,x0,y0,ans=0;
    for(int i=1;i<=r;i++){
        M*=m[i];
    }
    for(int i=1;i<=r;i++){
        int Mi=M/m[i];
        exgcd(Mi,m[i],d,x0,y0);
        ans=(ans+Mi*x0*a[i])%M;
    }
    if(ans<0) ans+=M;
    return ans;
}



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以下来自转载，有助于理解中国剩余定理的证明（拿着学长的书慢慢啃数论吧。。。）

公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二 ，五五数之余三 ，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。 --------这个就是传说中的“中国剩余定理”。

     其实题目的意思就是，x%3=2,x%5=3,x%7=2;问x最小是多少？

 解法：

        1.首先找到3，5，7，的三个“关键数字”，即[5,7]=35;[3,7]=21;[3,5]=15

        2.让35a%3=1，a=2;  让21b%5=1,b=1;  让15c%7=1，c=1（我们这里要让余数为1，是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以了，……）

        3.所以 然后，35*2*2=140    21*1*3=63  15*1*2=30

        4.  Then 140+63+30=233  ,因为233>3*5*7  ， 所以233- 105*2=23 

 

 

 上几个百度上的例题（我们会发现给出的除数都是亮亮互质的，显然……）：

       例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

                题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1+45×2+36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

        例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？

                题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2+120×4+105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

         例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

                 题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4+385×3+320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。


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