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中国剩余定理详解

中国剩余定理

孙子算经里有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?

翻译成现在的数学问题就是 x%3 == 2x%5 == 3x%7 ==  2,的值;

遇到这这样一个问题很多C语言初学者不禁会想到用暴力可以算出来,还要这样一个定理干嘛?

如果数据相当大呢?计算机就会计算相当困难。然而这个问题早早的就被孙子解决了。

 求出3,5,7 两两中的最小公倍数lcmk*lcm与另一个数mod等于1(找出一个符合条件的k);

  用k*lcm*另一个没有在lcm中的数的等式的余数 [(有点绕)就是 lcm(3,5),另一个数就是x%7==2 的等式中的余数 就是即找出这k*lcm3,5*2]

求法(剩余定理思想)

  Lcm(3,5) = 15;   // lcm是最小公倍数 

  Lcm(3,7) = 21;

  Lcm(5,7) = 35;

  a*15%7 == 1;

  b*21%5 == 1;

  c*35%3 == 1;

  可求得a,b,c的值为1,1,2;

  我们可得15%7 == 1 , 21%5 == 1 , 70%3 == 1

  Ans = (15*2 + 21*3 + 70*2) % lcm(3,5,7);  

  Ans = 23;

再加一个例题

一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

 题中345三个数两两互质。 则〔45=20;〔35=15;〔34=12;〔345=60

为了使203除余1,用20×2=40 使154除余1,用15×3=45 使125除余1,用12×3=36

然后,40×145×236×4=274 

因为,274>60

所以,274%60 = 34,就是所求的数。

 

粘个剩余定理题   POJ 1006 http://poj.org/problem?id=1006

题目又上角有中文意思

这道题的解法就是: 

已知(ans+d)%23=a;   (ans+d)%28=b;   (ans+d)%33=c
       使33×28×X被23除余1,用33×28×8 = 5544; 
       使23×33×Y被28除余1,用23×33×19 = 14421; 
       使23×28×Z被33除余1,用23×28×2 = 1288。

      于是X==8, Y==19, Z==2;
      因此有(5544×a + 14421×b + 1288×c)% lcm(23,28,33) =ans + d 

又23、28、33互质,即lcm(23,28,33) = 21252;
      所以有ans =(5544×a+14421×b+1288×c-d)% 21252

AC代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
	int a, b, c, d,cnt=1;
	int ans;
	while (scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d)!=EOF&&a!=-1)
	{
		ans = (a * 5544 + b * 14421 + c * 1288) % 21252;
		ans -= d;
		if (ans<=0) ans += 21252;
		if(ans>21252) ans=21252;
		printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", cnt++, ans);
	}
	return 0;
}

这个题暴力也能过

暴力AC代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{
    int a, b, c, d,cnt=1,i;
    while (scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d)!=EOF&&a!=-1)
    {
        for(i=1; ; i++)
            if((i-a)%23==0&&(i-b)%28==0&&(i-c)%33==0&&i>d)
            {
                break;
            }
            printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", cnt++, i-d);
    }
    return 0;
}