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算法导论------------基本数据结构之二叉树
1、二叉树的定义
二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。二叉树形状如下下图所示：
2、二叉树的性质
（1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1)。备注:^表示此方
（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k>=1)。
（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。
满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。
完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。
可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。
举例如下图是所示：
（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。
3、二叉树的存储结构
可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。二叉树的二叉链表存储结构如下所示：
1 typedef struct binary_tree_node
2 {
3 int elem;
4 struct binary_tree_node *left;
5 struct binary_tree_node *right;
6 }binary_tree_node,*binary_tree;举例说明二叉链表存储过程，如下图所示：
从图中可以看出：在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。
4、遍历二叉树
遍历二叉树是按照指定的路径方式访问书中每个结点一次，且仅访问一次。由二叉树的定义，我们知道二叉数是由根结点、左子树和右子树三部分构成的。通常遍历二叉树是从左向右进行，因此可以得到如下最基本的三种遍历方法：
（1）先根遍历（先序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先访问根节点，然后先根遍历左子树，最后先根遍历右子树。采用递归形式实现代码如下：
1 void preorder_traverse_recursive(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 printf("%d\t",root->elem);
6 preorder_traverse_recursive(root->left);
7 preorder_traverse_recursive(root->right);
8 }
9 }具体过程如下图所示：
（2）中根遍历（中序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先中根遍历左子树，然后访问根结点，最后中根遍历右子树。递归过程实现代码如下：
1 void inorder_traverse_recursive(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 inorder_traverse_recursive(root->left);
6 printf("%d\t",root->elem);
7 inorder_traverse_recursive(root->right);
8 }
9 }具体过程如下图所示：
（3）后根遍历（后序遍历）：如果二叉树为空，进行空操作；否则，先后根遍历左子树，然后后根遍历右子树，最后访问根结点。递归实现代码如下：
1 void postorder_traverse_recursive(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 postorder_traverse_recursive(root->left);
6 postorder_traverse_recursive(root->right);
7 printf("%d\t",root->elem);
8 }
9 }具体过程如下图所示：
写一个完整的程序练习二叉树的三种遍历，采用递归形式创建二叉树，然后以递归的形式遍历二叉树，后面会接着讨论如何使用非递归形式实现这三种遍历，程序采用C语言实现，完整程序如下：
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 4 //the structure of binary tree 5 typedef struct binary_tree_node 6 { 7 int elem; 8 struct binary_tree_node *left; 9 struct binary_tree_node *right; 10 }binary_tree_node,*binary_tree; 11 12 void init_binary_tree(binary_tree *root); 13 void create_binary_tree(binary_tree *root); 14 15 //previous root 16 void preorder_traverse_recursive(binary_tree root); 17 //inorder root 18 void inorder_traverse_recursive(binary_tree root); 19 //post order root 20 void postorder_traverse_recursive(binary_tree root); 21 22 int main() 23 { 24 binary_tree root; 25 init_binary_tree(&root); 26 create_binary_tree(&root); 27 preorder_traverse_recursive(root); 28 inorder_traverse_recursive(root); 29 postorder_traverse_recursive(root); 30 exit(0); 31 } 32 33 void init_binary_tree(binary_tree *root) 34 { 35 *root = NULL; 36 } 37 38 void create_binary_tree(binary_tree* root) 39 { 40 int elem; 41 printf("Enter the node value(0 is end): "); 42 scanf("%d",&elem); 43 if(elem == 0) 44 *root = NULL; 45 else 46 { 47 *root = (binary_tree)malloc(sizeof(binary_tree_node)); 48 if(NULL == root) 49 { 50 printf("malloc error.\n"); 51 exit(-1); 52 } 53 (*root)->elem = elem; 54 printf("Creating the left child node.\n"); 55 create_binary_tree(&((*root)->left)); 56 printf("Createing the right child node.\n"); 57 create_binary_tree(&((*root)->right)); 58 } 59 } 60 61 void preorder_traverse_recursive(binary_tree root) 62 { 63 if(NULL != root) 64 { 65 printf("%d\t",root->elem); 66 preorder_traverse_recursive(root->left); 67 preorder_traverse_recursive(root->right); 68 } 69 } 70 71 void inorder_traverse_recursive(binary_tree root) 72 { 73 if(NULL != root) 74 { 75 inorder_traverse_recursive(root->left); 76 printf("%d\t",root->elem); 77 inorder_traverse_recursive(root->right); 78 } 79 } 80 81 void postorder_traverse_recursive(binary_tree root) 82 { 83 if(NULL != root) 84 { 85 postorder_traverse_recursive(root->left); 86 postorder_traverse_recursive(root->right); 87 printf("%d\t",root->elem); 88 } 89 }
程序测试结果如下：
现在来讨论一下如何采用非递归实现这以上三种遍历。将递归形式转换为非递归形式，引入了额外的辅助结构栈。另外在讨论一次二叉树的层次遍历，可以借助队列进行实现。具体讨论如下：
（1）先根遍历非递归实现
先根遍历要求顺序是根左右，可以借助栈s来实现。先将根root入栈，然后循环判断s是否为空，非空则将结点出栈，记为节点p，然后依次先将结点p的右子树结点入栈，然后将结点p的左子树结点入栈，循环操作直到栈中所有元素都出栈为止，出栈顺序即是先根遍历的结果。采用C++中模板库stack实现先根遍历如下：
1 void preorder_traverse(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 stack<binary_tree_node*> s;
6 binary_tree_node *ptmpnode;
7 s.push(root);
8 while(!s.empty())
9 {
10 ptmpnode = s.top();
11 cout<<ptmpnode->elem<<" ";
12 s.pop();
13 if(NULL != ptmpnode->right)
14 s.push(ptmpnode->right);
15 if(NULL != ptmpnode->left)
16 s.push(ptmpnode->left);
17
18 }
19 }
20 }（2）中根遍历非递归实现
中根遍历要求顺序是左根右，借助栈s实现。先将根root入栈，接着从根root开始查找最左的子孩子结点直到为空为止，然后将空节点出栈，再将左子树节点出栈遍历，然后判断该左子树的右子树节点入栈。循环此过程，直到栈为空为止。此时需要注意的是入栈过程中空结点也入栈了，用以判断左孩子是否结束和左孩子是否有右孩子结点。采用C++中模板库stack实现先根遍历如下：
1 void inorder_traverse(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 stack<binary_tree_node*> s;
6 binary_tree_node *ptmpnode;
7 s.push(root);
8 while(!s.empty())
9 {
10 ptmpnode = s.top();
11 while(NULL != ptmpnode)
12 {
13 s.push(ptmpnode->left);
14 ptmpnode = s.top();
15 }
16 s.pop();//空结点出栈
17 if(!s.empty())
18 {
19 ptmpnode = s.top();
20 cout<<ptmpnode->elem<<" ";
21 s.pop();
22 //右子树结点如栈
23 s.push(ptmpnode->right);
24 }
25 }
26 }
27 }另外一种简洁的实现方法如下：
1 void inorder_traverse_two(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 stack<binary_tree_node*> s;
6 binary_tree_node *ptmpnode;
7 ptmpnode = root;
8 while(NULL != ptmpnode || !s.empty())
9 {
10 //将左子树结点入栈
11 if(NULL != ptmpnode)
12 {
13 s.push(ptmpnode);
14 ptmpnode = ptmpnode->left;
15 }
16 else
17 {
18 //出栈遍历
19 ptmpnode = s.top();
20 s.pop();
21 cout<<ptmpnode->elem<<" ";
22 //右子树结点
23 ptmpnode = ptmpnode->right;
24 }
25 }
26 }
27 }（3）后根遍历递归实现
后根遍历要求访问顺序是左右根，采用辅助栈实现时，需要一个标记，判断结点是否访问了，因为右子树是通过跟结点的信息得到的。实现过程是先将根结点及其左子树入栈，并初始标记为0，表示没有访问，然后通过判断栈是否为空和标记的值是否为1来判断是否访问元素。
参考：http://www.cnblogs.com/hicjiajia/archive/2010/08/27/1810055.html
采用C++模板库stack具体实现程序如下：
1 void postorder_traverse(binary_tree root) 2 { 3 if(NULL != root) 4 { 5 stack<binary_tree_node*> s; 6 binary_tree_node *ptmpnode; 7 int flags[100]; 8 ptmpnode = root; 9 while(NULL != ptmpnode || !s.empty()) 10 { 11 //将结点左子树结点入栈 12 while(NULL != ptmpnode) 13 { 14 s.push(ptmpnode); 15 flags[s.size()] = 0; //标记未访问 16 ptmpnode=ptmpnode->left; 17 } 18 //输出访问的结点 19 while(!s.empty() && flags[s.size()] == 1) 20 { 21 ptmpnode = s.top(); 22 s.pop(); 23 cout<<ptmpnode->elem<<" "; 24 } 25 //从右子树开始遍历 26 if(!s.empty()) 27 { 28 ptmpnode = s.top(); 29 flags[s.size()] = 1; //登记访问了 30 ptmpnode = ptmpnode->right; 31 } 32 else 33 break; 34 } 35 } 36 }
（4）层次遍历实现
层次遍历要求从根向下、从左向右进行访问，可以采用队列实现。先将根入队，然后队列进程出队操作访问结点p，再将结点p的左子树和右子树结点入队，循环执行此过程直到队列为空。出队顺序即是层次遍历结果。采用C++的模板库queue实现如下：
1 void levelorder_traverse(binary_tree root)
2 {
3 if(NULL != root)
4 {
5 queue<binary_tree_node*> q;
6 binary_tree_node *ptmpnode;
7 q.push(root);
8 while(!q.empty())
9 {
10 ptmpnode = q.front();
11 q.pop();
12 cout<<ptmpnode->elem<<" ";
13 if(NULL != ptmpnode->left)
14 q.push(ptmpnode->left);
15 if(NULL != ptmpnode->right)
16 q.push(ptmpnode->right);
17 }
18 }
19 }综合上面的分析过程写个完整的程序测试二叉树遍历的非递归实现，采用C++语言，借助stack和queue实现，完整程序如下所示：
1 #include <iostream> 2 #include <stack> 3 #include <queue> 4 #include <cstdlib> 5 using namespace std; 6 7 typedef struct binary_tree_node 8 { 9 int elem; 10 struct binary_tree_node *left; 11 struct binary_tree_node *right; 12 }binary_tree_node,*binary_tree; 13 14 void init_binary_tree(binary_tree *root); 15 void create_binary_tree(binary_tree *root); 16 void preorder_traverse(binary_tree root); 17 void inorder_traverse(binary_tree root); 18 void inorder_traverse_two(binary_tree root); 19 void postorder_traverse(binary_tree root); 20 void levelorder_traverse(binary_tree root); 21 22 int main() 23 { 24 binary_tree root; 25 create_binary_tree(&root); 26 cout<<"preodrer traverse: "; 27 preorder_traverse(root); 28 cout<<"\ninodrer traverse: "; 29 inorder_traverse_two(root); 30 cout<<"\npostodrer traverse: "; 31 postorder_traverse(root); 32 cout<<"\nleverorder traverse: "; 33 levelorder_traverse(root); 34 exit(0); 35 } 36 37 void init_binary_tree(binary_tree *root) 38 { 39 *root = NULL; 40 } 41 42 void create_binary_tree(binary_tree* root) 43 { 44 int elem; 45 cout<<"Enter the node value(0 is end): "; 46 cin>>elem; 47 if(elem == 0) 48 *root = NULL; 49 else 50 { 51 *root = (binary_tree)malloc(sizeof(binary_tree_node)); 52 if(NULL == root) 53 { 54 cout<<"malloc error.\n"; 55 exit(-1); 56 } 57 (*root)->elem = elem; 58 cout<<"Creating the left child node.\n"; 59 create_binary_tree(&((*root)->left)); 60 cout<<"Createing the right child node.\n"; 61 create_binary_tree(&((*root)->right)); 62 } 63 } 64 65 void preorder_traverse(binary_tree root) 66 { 67 if(NULL != root) 68 { 69 stack<binary_tree_node*> s; 70 binary_tree_node *ptmpnode; 71 s.push(root); 72 while(!s.empty()) 73 { 74 ptmpnode = s.top(); 75 cout<<ptmpnode->elem<<" "; 76 s.pop(); 77 if(NULL != ptmpnode->right) 78 s.push(ptmpnode->right); 79 if(NULL != ptmpnode->left) 80 s.push(ptmpnode->left); 81 82 } 83 } 84 } 85 void inorder_traverse(binary_tree root) 86 { 87 if(NULL != root) 88 { 89 stack<binary_tree_node*> s; 90 binary_tree_node *ptmpnode; 91 s.push(root); 92 while(!s.empty()) 93 { 94 ptmpnode = s.top(); 95 while(NULL != ptmpnode) 96 { 97 s.push(ptmpnode->left); 98 ptmpnode = s.top(); 99 } 100 s.pop(); 101 if(!s.empty()) 102 { 103 ptmpnode = s.top(); 104 cout<<ptmpnode->elem<<" "; 105 s.pop(); 106 s.push(ptmpnode->right); 107 } 108 } 109 } 110 } 111 112 void inorder_traverse_two(binary_tree root) 113 { 114 if(NULL != root) 115 { 116 stack<binary_tree_node*> s; 117 binary_tree_node *ptmpnode; 118 ptmpnode = root; 119 while(NULL != ptmpnode || !s.empty()) 120 { 121 //将左子树结点入栈 122 if(NULL != ptmpnode) 123 { 124 s.push(ptmpnode); 125 ptmpnode = ptmpnode->left; 126 } 127 else 128 { 129 //出栈遍历 130 ptmpnode = s.top(); 131 s.pop(); 132 cout<<ptmpnode->elem<<" "; 133 //右子树结点 134 ptmpnode = ptmpnode->right; 135 } 136 } 137 } 138 } 139 140 void postorder_traverse(binary_tree root) 141 { 142 if(NULL != root) 143 { 144 stack<binary_tree_node*> s; 145 binary_tree_node *ptmpnode; 146 int flags[100]; 147 ptmpnode = root; 148 while(NULL != ptmpnode || !s.empty()) 149 { 150 //将结点左子树结点入栈 151 while(NULL != ptmpnode) 152 { 153 s.push(ptmpnode); 154 flags[s.size()] = 0; //标记未访问 155 ptmpnode=ptmpnode->left; 156 } 157 //输出访问的结点 158 while(!s.empty() && flags[s.size()] == 1) 159 { 160 ptmpnode = s.top(); 161 s.pop(); 162 cout<<ptmpnode->elem<<" "; 163 } 164 //从右子树开始遍历 165 if(!s.empty()) 166 { 167 ptmpnode = s.top(); 168 flags[s.size()] = 1; //登记访问了 169 ptmpnode = ptmpnode->right; 170 } 171 else 172 break; 173 } 174 } 175 } 176 void levelorder_traverse(binary_tree root) 177 { 178 if(NULL != root) 179 { 180 queue<binary_tree_node*> q; 181 binary_tree_node *ptmpnode; 182 q.push(root); 183 while(!q.empty()) 184 { 185 ptmpnode = q.front(); 186 q.pop(); 187 cout<<ptmpnode->elem<<" "; 188 if(NULL != ptmpnode->left) 189 q.push(ptmpnode->left); 190 if(NULL != ptmpnode->right) 191 q.push(ptmpnode->right); 192 } 193 } 194 }
程序测试结果如下：
算法导论------------基本数据结构之二叉树
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