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bzoj2480 Spoj3105 Mod

2024-09-27 00:51:39   215人阅读

传送门：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2480

【题解】

大步小步算法（BSGS）

一直觉得BSGS不大优美因为算法里混杂着一个求逆元，这对推exgcd要好久的人不大兹磁啊。。

参考：http://blog.miskcoo.com/2015/05/discrete-logarithm-problem

顺带介绍一下BSGS算法。

普通的BSGS：（p为质数）

设m = ceil(sqrt(P))

那么设A^(am+b)=B (mod P)

那么有(A^m)^a = B * A^(-b) (mod P)

那么把枚举右边所有取值（m种），用map存下，然后枚举a取值（m种），map查表即可。

复杂度O(根号m*(logm))（看STL_map还是手写hash）

扩展的BSGS：(A,P)>1

我们转化模方程：A^x+kP=B（k为整数）

那么令g=(A,P)，有：A/g*A^(x-1)+kP/g=B/g

如果B不能被g整除那么肯定无解。

然后我们得到了新的方程A^(x-1) = B/g * (A/g)^(-1) (mod P/g)

（注意右边不能约掉）

然后我们按照这个步骤一直下去直到(a,p)=1，用普通BSGS解即可。注意加上化成BSGS需要的次数cnt。

好了我们发现要一坨逆元，怎么办？

考虑普通BSGS里的逆元：

因为p不是质数了所以这个逆元很鬼畜啊要用exgcd求。

不用急，我们让x=am-b即可。这样式子就变成了：
那么有(A^m)^a = B * A^b (mod P)

不过a的取值范围为[1,m+1],b为[0,m-1]而已。

考虑extBSGS里的逆元：(A/g)

我们把这一坨最后归到左边，就没有逆元了吧，然后查表的时候初值设成这个数即可。

这样就很优美了吧

比一直求逆元的bsgs跑的快多了

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# include <map>
# include <math.h>
# include <stdio.h>
# include <string.h>
# include <iostream>
# include <algorithm>
// # include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
const int M = 5e5 + 10;
const int mod = 1e9+7;

# define RG register
# define ST static

inline int pwr(int a, int b, int P) {
    int ret = 1;
    while(b) {
        if(b&1) ret = 1ll * ret * a % P;
        a = 1ll * a * a % P;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

map<int, int> mp;
inline int BSGS(int A, int B, int P) {
}

inline int extBSGS(int A, int B, int P) {
    A %= P, B %= P;
    if(B == 1) return 0;
    int cnt = 0, d = 1;
    for (int g = __gcd(A, P); g!=1; g = __gcd(A, P)) {
        if(B % g) return -1;
        P /= g, B /= g;
        d = 1ll * d * A / g % P;
        ++cnt;
        if(B == d) return cnt;
    }
    
    mp.clear();
    int m = ceil(sqrt(1.0 * P)), t = B;
    for (int i=0; i<m; ++i) {
        mp[t] = i;
        t = 1ll * t * A % P;
    }
    int g = pwr(A, m, P); t = 1ll * d * g % P;
    for (int i=1; i<=m+1; ++i) {
        if(mp.count(t)) return cnt + i*m - mp[t];
        t = 1ll * t * g % P;
    }
    return -1;
}

int main() {
    int A, B, P, ans;
    while(cin >> A >> P >> B && (A+B+P)) {
        if(P == 1) {
            puts("0");
            continue;
        }
        ans = extBSGS(A, B, P);
        if(ans == -1) puts("No Solution");
        else printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}
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