题目链接：http://www.lydsy.com:808/JudgeOnline/problem.php?id=2705

网上的题解都不是很靠谱，我就来YY下自己的思路吧。。。

首先，对于1<=i<=N,gcd(i,N)的可能性解就是N的约数。那么这个题就是求Σgcd(i,N)=k,k是n的因数，等价于求Σgcd(i/k,N/k)=gcd(i‘,N/k)=1，即找出所有与N/k互质且小于等于N/k的i‘的个数，这就转化到求欧拉函数的问题上来了。

所以这个题的做法是，sqrt(N)复杂度内枚举N的所有约数k，然后对phi(N/k)求和。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long int LL;

LL sqrtn;

LL h(LL x)
{
    LL ans=x;
    for(LL i=2;i<=sqrtn;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}

int main()
{
    LL n,ans=0;
    scanf("%lld",&n);
    sqrtn=sqrt(n);
    for(LL i=1;i<=sqrtn;i++) //枚举n的约数i
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans+=i*h(n/i);
            if(i*i<n) ans+=(n/i)*h(i);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

[BZOJ 2705][SDOI 2012]Longge的问题(欧拉函数)