将问题一般化，在M*N的方格里有M*N-1个不同元素和一个空元素，只有空元素可以与上下左右相邻的元素交换位置。M*N方格中M*N-1个元素和一个空元素的位置确定一个图形。拼图游戏的问题是：一个图形经过一连串的交换能否得到另一个图形，如何得到。从交换方式的可逆性看出这种关系满足等价三性质，如果图形A通过交换变成图形B我们则称它们是等价的。把M*N-1个元素用1至M*N-1编号，空元素编号0。然后展成一个排列。每个图形对应一个排列。确定了展开方式，图形和排列是一一对应的。这里用到的展开方式是行优先的顺序（其他方式展开也能到相应的结果）。将例1的两个图形展开有：图1对应1 3 2 6 0 5 4 7 8，图2对应1 2 3 4 5 6 7 8 0。

      定理1：图形A与图形B等价的充要条件图形A的排列的逆序数加上0元素行号和列号的奇偶性等于图形B的排列的逆序数加上0元素行号和列号的奇偶性。为方便表述，把图形排列的逆序数加上0元素行号和列号的奇偶性称为图形的奇偶性。

      先看定理1如何起作用，图1：展开的排列 1 3 2 6 0 5 4 7 8，它的逆序数为8，0元素行号为2，列号为2。逆序数加行号，列号的奇偶性为偶。图2：展开的排列 1 2 3 4 5 6 7 8 0，它的逆序数为8，0元素行号为3，列号为3。逆序数加行号，列号的奇偶性为偶。两个图形的奇偶性相同，根据定理1判断它们等价。

      首先证明必要性，即如果图形A与图形B等价，则图形A的奇偶性等于图形B奇偶性。

              0元素和某个元素交换位置，则排列的逆序数的奇偶性就改变一次。交换后0元素的行号或者列号会加1或减1，即行号，列号之和的奇偶性也改变一次。这说明拼图的交换方式不改变图形的奇偶性，也说明拼图中至少有两组等价类，奇偶性不同的图形不等价。

      下面证明充分性，如果图形A的奇偶性等于图形B的奇偶性，则图形A，B等价。

      如果证明了拼图只有两组等价类，从必要性的证明过程可知，奇性图形是一组等价类，偶性是一组。从而证明了充分性。

      先考虑一般的排列1 2 3 ... N。某个元素连续与后面M相邻的元素交换位置，称为向后M步移动。如排列：1 2 3 4 5 6。元素2的向后3步移动，排列变成1 3 4 5 2 6。同样的方式定义向前M步移动。如果排列A能够通过有限向前M步移动和向后M步移动变成排列B，称排列A与排列B M步等价。容易看出这也是等价关系。

   拼图游戏的随机离散中加入定理1的判断可以保证游戏有意义，不会出现无解的情况。

拼图游戏(数码还原游戏)算法的研究