本系列前五篇都是讲述的比较排序算法，从本文开始，将进入线性时间排序。什么是比较排序，简单的说，就是排序的过程依赖于数组中数据大小的比较，从而来确定数据在排好序输出时的位置。

        比较排序法比较直观，但是也有它的不足，我们容易证明任何比较排序法，在最坏的情况下的时间复杂度的下限都是 nlgn。要证明这个问题，我们首先要搞清楚一个模型：决策树模型。

一、决策树模型

        什么是决策树？决策树从形态上来讲，是一颗完全二叉树，它除叶子节点之外，其他层的节点都是满的。它的每一个叶子节点表示对输入数据组合的一种排序可能，而它的非叶子节点表示一次判断操作。还是以一个例子来说明比较形象：

        比如对于一个有三个元素的数组，它排序一共有多少种可能呢？不难算出应该是3*2*1=3！种组合，所以它的决策树的叶子节点有3！也即6个，因为每一个叶子节点代表一种排序可能。那么这些叶子节点是如何得到的呢？是根据非叶子节点的判断条件而得到的，我们让1 2 3 分别代表3元素数组的三个元素，判断过程如图：

        如上图，我们先比较元素1和2，然后根据结果，来判断是进入左子树还是右子树，然后一层层的判断，最后得到排序结果中的一种，当然对于某一个确定的数组来说，路径只可能是一种；比如我们以数组[6,8,5]为例，则走的是橙色箭头的路径，最后排序完之后是：元素3,1,2,；也即[5,6,8]。

        根据完全二叉树的性质，我们可以知道，对于高度为h的完全二叉树，叶子节点最多有2^h个，而我们这里(对于n个节点的排序)策略树最下一层的叶子节点个数为n!个，所以我们不难得到2^h>=n!，所以有：h>=lg(n!)，又由算法导论（第三版）上的公式3.19可知lg(n!)>=nlgn，所以h>=nlgn。

        至此，我们可以知道，对于任何的比较排序算法，它的策略树高度最少也为nlgn高，即它要得到一个排序的结果，至少也要经过nlgn步，最坏的情况下时间复杂度下限为nlgn。

二、计数排序算法

        对于计数排序来说，它的时间复杂度为O(n)，但是它的使用有一些附加的限制条件：①输入的n个元素都是在0~k区间内的一个整数，其中k为某个整数；②k=O(n)

        对于满足上述两个条件的数组，就可以使用计数排序，且排序的时间复杂度为O(n)。

        计数排序并不像之前的快速排序，堆排序一样，需要进行元素之间的比较。计数排序是一种完全不需要进行元素的比较的排序方法。我们来看看计数排序的基本思想：

        由于计数排序针对的数组是满足上述①和②条件的，所以我们可以知道，数组中的元素的取值只有k+1种可能，也即从0~k的值中选取。并且，对于排序来说，以从小到大排序为例，对于某个确定的元素而言，如果数组中的元素都是互异的情况下，如果我们知道数据中小于该元素的个数有多少个，那么我们就可以确定该元素的位置；如果对于元素的值有相等的情况，我们只需要对相等的元素进行处理即可。

        例如，x是数组中的一个元素，在数组中有17个元素小于x，且没有元素与x的值相等，那么x在排序好的数组中就应该位于第18个元素（从小到大排序）。当有元素跟x的值相等的时候，则需要调整方案，处理相等的时候的顺序。

        基于上面的思想，对于从小到大的计数排序，我们只要求出对于每个元素不大于他们的所有元素的个数，则可以想办法来确定他们在排序之后的位置，即可以完成排序了。可以预想到，除了要排序的数组a[n]之外，我们还需要一个数组b[n]来存储排序好的数组的元素，和一个数组c[k+1]来存储从0~k这k+1个值分别在数组中出现的次数，进而求出比他们小的值出现的次数之和。

        这里给出一个c++的实现代码：

#include <iostream>

#define max_value 7
#define min_value 0

using namespace std;

void countingSort(int a[], int c[], int b[], int max);
void printArray(int a[], int len);

int main() {

	int a[10] = { 5, 4, 0, 1, 6, 4, 0, 1, 7, 3 };
	int b[10];
	int c[max_value + 1];
	printArray(a, 10);

	countingSort(a, c, b, 7);

	printArray(b, 10);

	return 0;
}

/*
 * 计数排序，假设n个数，最大值为7，最小值为0
 */

void countingSort(int a[], int c[], int b[], int max) {

	int tmp;

	/* 初始化c数组，为了方便后面统计小于某元素的元素个数，因为某些元素可能不出现，那么它们的个数应该初始化为0 */
	for (int i = 0; i <= max; i++) {
		c[i] = 0;
	}

	//printArray(c, 8);

	//统计a数组中每个元素出现的次数
	for (int i = 0; i < 10; i++) {
		c[a[i]]++;
	}

	//printArray(c, 8);

	//统计在小于等于每个元素的元素有多少个
	for (int i = 0; i <= max; i++) {
		tmp = i - 1;
		if (tmp < 0) {
			//什么都不做
		} else {
			c[i] += c[tmp];
		}
	}

	//printArray(c, 8);

	//将输出的排序数组填入到b中
	for (int i = 9; i >= 0; i--) {

		//减一是为了让数组序数从0开始算起
		b[c[a[i]] - 1] = a[i];
		c[a[i]]--;//处理有元素的值相同的情况
	}
}
//打印数组
void printArray(int a[], int len) {
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		cout << a[i] << ' ';
	}
	cout << endl;
}

三、计数排序算法的分析

        我们根据上面的代码，不难算出计数排序的算法复杂度：这里取值k=8，因为是[0,7]，输入元素个数为n=10，所以，O(k)+O(n)+O(k)+O(n)=O(k+n)，而当k=O(n)时，整个时间复杂度为O(n)。

可以发现，计数排序的时间复杂度比比较排序最坏情况下的复杂度nlgn要好，但是计数排序的应用范围要窄。

        计数排序的另外一个重要性质就是它是稳定的，也就是说对于数组中相同的值的元素而言，先输入的元素在排序之后也在前，而后输入的元素在后；这一性质是由输入排序数组到b[n]中，采用从大到小循环，且循环一次进行一次c[a[i]--]来保证的，让后输入的元素排在序号比较大的位置。计数排序经常会被用作基数排序算法的一个子过程，而在这其中，要求计数排序必须是稳定的。

算法导论之六：线性时间排序之 决策树&计数排序