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动态规划算法3——最长上升子序列
今天我们要讲的是最长上升子序列(LIS)。
【题目描述】
给定N个数,求这N个数的最长上升子序列的长度。
【样例输入】
7
2 5 3 4 1 7 6
【样例输出】
4
什么是最长上升子序列? 就是给你一个序列,请你在其中求出一段不断严格上升的部分,它不一定要连续。
就像这样:2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的两种选取方案。最长的长度是4.
那么,怎么求出它的最大上升子序列长度为4呢?这里介绍两种方法,都是以动态规划为基础的。
首先,我们先介绍较慢(O($n^2$))的方法。我们记num为到这个数为止,最长上升子序列的长度。
这种方法就是每一次寻找“可以接下去的”,换句话说,设原序列为a,则
当$a_j<a_i (j<i)$且$num_j +1>num_i$时,$ num_i=num_j +1$。
对于每一个数,他都是在“可以接下去”的中,从前面的最优值+1转移而来。
因此,这个算法是可以求出正确答案的。复杂度很明显,外层i枚举每个数,内层j枚举目前i的最优值,即O($n^2$)。
那么,有没有更快的方法呢?当然有。这回要用到二分。
我们回想一下,在上面O($n^2$)的程序中,哪些地方看起来比较费时?
没错,就是内层用于更新i的循环。因为每一次他都要查找一遍,效率并不高。
回到题目,我们发现,他只要我们求长度,所以?
我们可以模拟一个栈。
所以每遇到一个比栈顶元素大的数,就放进栈里,遇到比栈顶元素小的就二分查找前边的元素,找到一个“最应该被换掉的元素”,用新数去更新前边的元素。
这个算法不难证明也是正确的。因为前面每一次的枚举都换成了二分,内层的复杂度从$n$降到了$log_2$,外层不变。所以总的复杂度是O($n log_2n$)。
接下来,我先给出朴素算法的代码。
#include<cstdio> const int MAX=1001; int a[MAX]; int lis(int x) { int num[MAX]; for(int i=0;i<x;i++) { num[i]=1; for(int j=0;j<i;j++) { if(a[j]<a[i]&&num[j]+1>num[i]) num[i]=num[j]+1; } } int maxx=0; for(int i=0;i<x;i++) if(maxx<num[i]) maxx=num[i]; return maxx; } int main() { int n; scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]); return !printf("%d\n",lis(n)); }
这个则是二分算法的代码:
#include<cstdio> #include<algorithm> const int MAXN=200001; int a[MAXN]; int d[MAXN]; int main() { int n; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); d[1]=a[1]; int len=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(a[i]>d[len]) d[++len]=a[i]; else { int j=std::lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d; d[j]=a[i]; } } printf("%d\n",len); return 0; }
类似的,我们可以通过二分查找中改变“上确界”和“下确界”,以及符号(“<”和“<=”或“>”、“>=”等),求出最长不下降、不上升、严格下降子序列等问题。
希望对大家有帮助。满意请点赞!
动态规划算法3——最长上升子序列