计算机视觉中，人脸检測（Face Detection）是一项常见的任务。

Paul Viola和Michael Jones在《Rapid object detection using a Boosted cascade ofsimple features》一文中提出的高速对象识别算法将人脸检測推向了一个新的高度，这样的将Adaboost 和Cascade 算法综合运用的实时人脸检測系统，使人脸检測这项工作具有了更为实际的意义和价值。

当中。为了加速Haar特征的计算，他们提出了积分图的概念。

坐标点(x, y)的积分图定义为其所相应的图中左上角的像素值之和：

当中ii(x,y)表示像素点(x, y)的积分图，i(x, y)表示原始图像。

比如。在Matlab中最简单的计算积分图的方法就是使用累和函数cumsum。以下给出一段简单的演示样例代码。

>> m = [1, 2, 3;
        4, 5, 6;
        7, 8, 9]

m =

     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

>> cumsum(cumsum(m, 2), 1)

ans =

     1     3     6
     5    12    21
    12    27    45

可是你能够想象，如果依照定义来计算图像的积分图，随着图像尺寸的扩大。计算量的增长是很惊人的。幸好，我们能够使用一种更加高效的方法来计算积分图。ii(x,y)通过下式迭代进行计算：s(x, y) = s(x, y?1)+i(x,y)。ii(x, y) = ii(x-1, y)+s(x,y)，当中s(x,y)表示行的积分和，且s(x, -1) =0，ii(-1, y) = 0。求一幅图像的积分和。仅仅需遍历一次图像就可以。

积分图元素值计算：由上述公式可知，上图中点“1”的积分图的值是矩形框A中全部像素的像素值之和。点“2”的积分图所相应的值为A+B，点“3”是A+C。点“4”是A+B+C+D。所以D中全部的像素值之和能够用4+1-(2+3)计算。

这也是利用积分图来实现Haar特征高速计算的基本原理。如果点4处的坐标为(x,y)，那么能够知道点4处积分图ii(x,y)的计算公式为 ii(x, y) = i(x, y) + ii(x-1, y) + ii(x, y-1) - ii(x-1, y-1)。 这个公式相应图中的 D + (A+C) + (A+B) - A = A + B + C + D。

以下所看到的之Matlab代码就是利用上述原理来计算积分图的。

>> [w h] = size(m);
>> %计算积分图
I=zeros(w,h);
for i=1:w
    for j=1:h
        if i==1 && j==1             %积分图像左上角
            I(i,j)=m(i,j);
        elseif i==1 && j~=1         %积分图像第一行
            I(i,j)=I(i,j-1)+m(i,j);
        elseif i~=1 && j==1         %积分图像第一列
            I(i,j)=I(i-1,j)+m(i,j);
        else                        %积分图像其他像素
            I(i,j)=m(i,j)+I(i-1,j)+I(i,j-1)-I(i-1,j-1);  
        end
    end
end
>> I

I =

     1     3     6
     5    12    21
    12    27    45

可见这同前面依据定义算得的结果是一致的。