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[数分笔记]用Dedekind切割定理证明确界定理

1、定理内容

Dedekind切割定理:设是实数集的一个切割,则或者有最大数,或者有最小数。

确界定理:非空有上界的数集必有上确界,非空有下界的数集必有下确界。

2、证明过程

设非空数集有上界

记,即是上界的集合

令的补集为,即

从而形成实数集的一个切割

Dedekind定理知,要么有最大数,要么有最小数

若有最大数,设是的最大数

由于,所以不是的上界

从而,s.t 

那么,从而也不是的上界,故

与是的最大数矛盾,从而没有最大数

所以有最小数

即有最小上界,即上确界 #

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