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[数分笔记]用Dedekind切割定理证明确界定理
1、定理内容
Dedekind切割定理:设是实数集的一个切割,则或者有最大数,或者有最小数。
确界定理:非空有上界的数集必有上确界,非空有下界的数集必有下确界。
2、证明过程
设非空数集有上界
记,即是上界的集合
令的补集为,即
从而形成实数集的一个切割
由Dedekind定理知,要么有最大数,要么有最小数
若有最大数,设是的最大数
由于,所以不是的上界
从而,s.t
那么,从而也不是的上界,故
与是的最大数矛盾,从而没有最大数
所以有最小数
即有最小上界,即上确界 #
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