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主定理的证明及应用举例

主定理

主定理最早出现在《算法导论》中,提供了分治方法带来的递归表达式的渐近复杂度分析。
规模为n的问题通过分治,得到a个规模为n/b的问题,每次递归带来的额外计算为c(n^d)
T(n) <= aT(n/b)+c(n^d)
那么就可以得到问题的复杂度为:

  • T(n) = O(n^d log(n)), if a = b^d
  • T(n) = O(n^d ), if a < b^d
  • T(n) = O(n^logb(a))), if a > b^d

证明方法

本来使用主定理是可以免去画递归树的,但为了证明主定理,还是需要画树。


可见,每次递归把问题分为a个规模为n/b的子问题。从根节点开始,共有logb(n)+1层,叶子节点数为a^(logb(n))。那么,第j层共有a^j个子问题,每个问题规模为n/b^j,每个子问题运算量为c*(n/b^j)^d需要完成的计算量为:


求和得到整个问题的运算量:


那么,根据a与b^d的关系,很容易得到主定理。

应用

二分搜索

  • 每次问题规模减半,a=1,b=2,d=0
  • 复杂度为n^0 log(n) = log(n)。

快速排序

  • 随机选择待排序序列中的一个数字作为划分字问题的标准,划分是否平均影响算法复杂度
  • 每次问题规模减半,a=2,b=2,d=1
  • 复杂度为n^2 log(n)
  • 最差情况下,复杂度为O(n^2)

归并排序

  • 数据列均分为两部分,分别排序,之后以O(n)的复杂度进行合并,空间复杂度O(n)
  • 每次问题规模减半,a=2,b=2,d=1
  • 复杂度为n log(n)

基数排序(Radix sort)

  • 对于待排序的整数序列,从最低位到最高位每次按照相应的位排序一次
  • 每次递归问题规模变为原来的1/10,但需要求解10个子问题,额外运算为O(n)的,a=10,b=10,d=1
  • 复杂度为n^1 log(n) = n log(n),近似为O(kN),k为整数的位数

快速傅里叶变换:FFT

  • 每次问题规模减半,a=2,b=2,d=1
  • 复杂度为n log(n)

Karatsuba快速乘法

  • 正常两个n位数乘法为n^2
  • 算法把两个乘数各分为高低位两部分,如X*Y = (a+b) * (c+d) = ac+bd + (bc+ad) = ac+bd+(ac+bd - (a-b)(c-d))
  • 只需要ac,bd,(a-b)(c-d)三次乘法
  • 每次问题规模减半,但需要解3个子问题,加法是O(n)的,a=3,b=2,d=1
  • 复杂度为n^log2(3)

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