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DFT

DFT定义如下:

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Wk = 2pi*fs*k/N,那么X(wk)计算的是离散信号x(nT)在频率fs*k/N处的频率响应。

那么DFT计算的最大频率为fs*(N-1)/N.

假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么DFT之后结果就是N个点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么DFT的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒时间的信号并做DFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时间的信号并做DFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。  假设DFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为:An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。

 参考:

https://ccrma.stanford.edu/~jos/

http://blog.sina.com.cn/s/blog_6541e78f0100t0ol.html

DFT