本题适合小学五年级以上数学爱好者解答。

问题：

证明以下表达式可以被 $11$ 整除：$$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k}.$$ 其中 $k$ 是任意自然数。

解答：

首先对原表达式进行化简：$$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k} = 5\cdot 5^{5k} + 16 \cdot 4^{5k} + 3^{5k}.$$ 欲证明该表达式可以被 $11$ 整除，需要考虑 $5^{5k}$、$4^{5k}$、$3^{5k}$ 除以 $11$ 的余数情况。

$$5^0 = 1 \equiv 1 \pmod{11},\ 5^1 = 5 \equiv 5 \pmod{11},\ 5^2 \equiv 3 \pmod{11},$$ $$5^{3} \equiv 4 \pmod{11},\ 5^{4} \equiv 9 \pmod{11},\ 5^{5} \equiv 1 \pmod{11};$$ $$4^0 = 1 \equiv 1 \pmod{11},\ 4^1 = 4 \equiv 4 \pmod{11},\ 4^2 \equiv 5 \pmod{11},$$ $$4^{3} \equiv 9 \pmod{11},\ 4^{4} \equiv 3 \pmod{11},\ 4^{5} \equiv 1 \pmod{11};$$ $$3^0 = 1 \equiv 1 \pmod{11},\ 3^1 = 3 \equiv 3 \pmod{11},\ 3^2 \equiv 9 \pmod{11},$$ $$3^{3} \equiv 5 \pmod{11},\ 3^{4} \equiv 4 \pmod{11},\ 3^{5} \equiv 1 \pmod{11}.$$ 由此可以得出，$$5^{5k} \equiv 1 \pmod{11},\ 4^{5k} \equiv 1 \pmod{11},\ 3^{5k} \equiv 1 \pmod{11}.$$ 因此 $$5^{5k+1} + 4^{5k+2} + 3^{5k} \equiv 5 + 16 + 1 \equiv 0 \pmod{11}.$$

Q$\cdot$E$\cdot$D

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，原北京四中数学竞赛教练员，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。

主要研究方向包括：数学建模（机器学习算法）与数学奥林匹克教育（解题研究与教学法），以第一作者身份发表英文论文5篇。

在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

联系作者：zhaoyin.math@foxmail.com

初等数学问题解答-2：11的整除性