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[您有新的未分配科技点]无旋treap：从好奇到入门（例题：bzoj3224 普通平衡树）
今天我们来学习一种新的数据结构：无旋treap。它和splay一样支持区间操作，和treap一样简单易懂，同时还支持可持久化。
无旋treap的节点定义和treap一样，都要同时满足树性质和堆性质，我们还是用rand（）来实现平衡
而无旋treap与treap不同的地方，也是其核心，就是它不旋转用两个新的核心函数：merge函数（合并两棵子树）和split函数（分裂出某棵树的前k个节点，并且作为一棵树返回）
首先看merge函数，它是一个递归实现的过程，先看代码：
1 Treap *merge(Treap *a,Treap *b) 2 { 3 if(a==null)return b; 4 if(b==null)return a; 5 pushdown(a);pushdown(b); 6 if(a->key < b->key) 7 {a->ch[1]=merge(a->ch[1],b);a->update();return a;} 8 else 9 {b->ch[0]=merge(a,b->ch[0]);b->update();return b;} 10 }
对于两棵子树a和b，我们可以实现把b树合并到a树中
在合并时，我们首先看他们的根节点谁的键值比较小（我维护的是一个小根堆），并且建立对应的父子关系。
又由于平衡树的中序遍历不变，我们又要把b插在a后面，维持一个确定的中序遍历，
所以我们应该一直把a作为merge函数的前一个参数，b作为后一个参数，这个顺序不能换.
这一个确定的顺序的重要性尤其体现在后续的区间操作中。刚开始的时候可以当板子背下来，但随着打题肯定会逐渐理解。
接下来我们介绍split函数，这也是一个递归实现的过程，还是先看代码：
1 typedef pair<Treap*,Treap*> D; 2 D split(Treap *o,int k) 3 { 4 if(o==null) return D(null,null); 5 D y;pushdown(o); 6 if(o->ch[0]->size>=k) 7 {y=split(o->ch[0],k);o->ch[0]=y.second;o->update();y.second=o;} 8 else 9 {y=split(o->ch[1],k-o->ch[0]->size-1);o->ch[1]=y.first;o->update();y.first=o;} 10 return y; 11 }
我们首先定义一个pair，这样做的好处是同时返回分裂出来的两棵树的根节点指针，我规定第一个是分离完成的树，第二个是剩下的原树。
然后考虑分离前k个的过程：如果o的左儿子有k个以上节点，我们显然应该去左儿子分离。
然后我们会得到分离完成的树和左儿子剩下的树，这时候把左儿子剩下的部分接回节点o，并把新的o作为分离o剩下的原树
如果左儿子节点个数不够，我们就去右儿子分离，过程是相似的，但略有不同，留给读者思考。
有了这两个函数，我们就可以用他们实现一些常用的操作了，比如：
insert=split+newnode+merge+merge
delete=split+split+merge（合并第一个split的first和第二个的second）
等等，其他操作也可以用类似的思路打出来。下面我们用一道例题实战一下。建议读者自己实现代码并充分思考后再核对标程。
3224: Tyvj 1728 普通平衡树
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBDescription
您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)
Input
第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6)
Output
对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案
Sample Input
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598
Sample Output
84185
492737
HINT
1 #include <cstdio> 2 #include <algorithm> 3 #include <cstring> 4 #include <ctime> 5 #include <cstdlib> 6 using namespace std; 7 const int maxn=100100,inf=0x7fffffff; 8 struct Treap 9 { 10 Treap* ch[2]; 11 int key,val,size; 12 Treap(int v) 13 {size=1,val=v,key=rand();ch[0]=ch[1]=NULL;} 14 inline void tain() 15 {size=1+(ch[0]?ch[0]->size:0)+(ch[1]?ch[1]->size:0);} 16 }*root; 17 typedef pair<Treap*,Treap*> D; 18 inline int size(Treap *o){return o?o->size:0;} 19 Treap *Merge(Treap *a,Treap* b) 20 { 21 if(!a)return b; 22 if(!b)return a; 23 if(a->key < b->key) 24 {a->ch[1]=Merge(a->ch[1],b);a->tain();return a;} 25 else 26 {b->ch[0]=Merge(a,b->ch[0]);b->tain();return b;} 27 } 28 D Split(Treap *o,int k) 29 { 30 if(!o)return D(NULL,NULL); 31 D y; 32 if(size(o->ch[0])>=k) 33 {y=Split(o->ch[0],k);o->ch[0]=y.second;o->tain();y.second=o;} 34 else 35 {y=Split(o->ch[1],k-size(o->ch[0])-1);o->ch[1]=y.first;o->tain();y.first=o;} 36 return y; 37 } 38 int Getkth(Treap *o,int v) 39 { 40 if(o==NULL)return 0; 41 return(o->val>=v)?Getkth(o->ch[0],v):Getkth(o->ch[1],v)+size(o->ch[0])+1; 42 } 43 inline int Findkth(int k) 44 { 45 D x=Split(root,k-1); 46 D y=Split(x.second,1); 47 Treap *ans=y.first; 48 root=Merge(Merge(x.first,ans),y.second); 49 return ans!=NULL?ans->val:0; 50 } 51 inline void Insert(int v) 52 { 53 int k=Getkth(root,v); 54 D x=Split(root,k); 55 Treap *o=new Treap(v); 56 root=Merge(Merge(x.first,o),x.second); 57 } 58 void Delete(int v) 59 { 60 int k=Getkth(root,v); 61 D x=Split(root,k); 62 D y=Split(x.second,1); 63 root=Merge(x.first,y.second); 64 } 65 int main(){ 66 int m,opt,x;scanf("%d",&m); 67 while(m--) 68 { 69 scanf("%d%d",&opt,&x); 70 switch(opt) 71 { 72 case 1:Insert(x);break; 73 case 2:Delete(x);break; 74 case 3:printf("%d\n",Getkth(root,x)+1);break; 75 case 4:printf("%d\n",Findkth(x));break; 76 case 5:printf("%d\n",Findkth(Getkth(root,x)));break; 77 case 6:printf("%d\n",Findkth(Getkth(root,x+1)+1));break; 78 } 79 } 80 }
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