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快速幂取模算法

2024-10-20 19:04:39   207人阅读

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快速幂取模 是一种常用的算法，这里总结下。
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能 
算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化
代码如下：

int Mod1(int a,int b,int n)     
{    
    int cnt = 1;
    while (b--)
    {
        cnt = a * cnt % n;
    }
    return cnt;
}  </span>
算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +…+   p(1)*2  +  p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b =  a^ (p(n)*2^n  +  p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2  +  p(0))
               =  a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...*  a^(p(1)*2)  *  a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） =  a^0  =  1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = (  a^(  p(i)  *  2^(i-1)  )  )^2
（这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法：http://baike.baidu.com/view/1431260.htm）
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算：
a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位
实例代码：递归
int Mod2(int a,int b,int n)
{
    int t = 1;
    if(b == 0)
        return 1;
    if(b == 1)
    return a%n;
    t=Mod2(a, b>>1, n);
    t=t*t%n;
    if (b&1)
    {
        t = t*a % n;
    }
    return t;
}
实例代码2：非递归优化 :
int Mod3(int a,int b,int y)
{
    int cnt=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) cnt=cnt*a%y;
        a=a*a%y;
        b>>=1;
    }
    return cnt;
}





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