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快速幂取模
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在Miller Rabbin测试素数，就用到了快速幂取模的思想。这里总结下。
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能
求a^b%c（这就是著名的RSA公钥的加密方法），当a,b很大时，直接求解这个问题不太可能
算法1：利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化 代码如下：
01.int modexp_simple(int a,int b,int n) 02.{ 03. int ret = 1; 04. while (b--) 05. { 06. ret = a * ret % n; 07. } 08. return ret; 09.}
算法2：另一种算法利用了二分的思想，可以达到O(logn)。
可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)
其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1
这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +...+ p(1)*2 + p(0))
= a^(p(n)*2^n) * a^(p(n-1)*2^(n-1)) *...* a^(p(1)*2) * a^p(0)
对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） = a^0 = 1,不用处理
我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况
化简：a^(2^i) = a^(2^(i-1) * 2) = ( a^( p(i) * 2^(i-1) ) )^2 （这里很重要！！具体请参阅秦九韶算法：http://baike.baidu.com/view/1431260.htm）
利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)
当然由算法1的结论，我们加上取模运算： a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位
当然由算法1的结论，我们加上取模运算： a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1))) %c
于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果， 即二进制扫描从最高位一直扫描到最低位
实例代码：递归
01.//计算a^bmodn 02.int modexp_recursion(int a,int b,int n) 03.{ 04. int t = 1; 05. 06. if (b == 0) 07. return 1; 08. 09. if (b == 1) 10. return a%n; 11. 12. t = modexp_recursion(a, b>>1, n); 13. 14. t = t*t % n; 15. 16. if (b&0x1) 17. { 18. t = t*a % n; 19. } 20. 21. return t; 22. }
实例代码2：非递归优化
01.#include <iostream> 02.using namespace std; 03. 04.//计算a^bmodn 05.int modexp(int a,int b,int n) 06.{ 07. int ret=1; 08. int tmp=a; 09. while(b) 10. { 11. //基数存在 12. if(b&0x1) ret=ret*tmp%n; 13. tmp=tmp*tmp%n; 14. b>>=1; 15. } 16. return ret; 17.} 18. 19.int main() 20.{ 21. cout<<modexp(2,10,3)<<endl; 22. return 0; 23.}
快速幂取模
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