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[COGS1862]种树 解题报告
【问题描述】
A城市有一个巨大的圆形广场,为了绿化环境和净化空气,市政府决定沿圆形广场外圈种一圈树。园林部门得到指令后,初步规划出n个种树的位置,顺时针编号1到n。并且每个位置都有一个美观度Ai,如果在这里种树就可以得到这Ai的美观度。但由于A城市土壤肥力欠佳,两棵树决不能种在相邻的位置(i号位置和i+1号位置叫相邻位置。值得注意的是1号和n号也算相邻位置!)。
最终市政府给园林部门提供了m棵树苗并要求全部种上,请你帮忙设计种树方案使得美观度总和最大。如果无法将m棵树苗全部种上,给出无解信息。
最终市政府给园林部门提供了m棵树苗并要求全部种上,请你帮忙设计种树方案使得美观度总和最大。如果无法将m棵树苗全部种上,给出无解信息。
【输入格式】
输入的第一行包含两个正整数n、m。
第二行n个整数Ai。
第二行n个整数Ai。
【输出格式】
输出一个整数,表示最佳植树方案可以得到的美观度。如果无解输出“Error!”,不包含引号。
【样例输入】
7 3
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
【样例输出】
15
【样例输入】
7 4
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
【样例输出】
Error!
【数据规模和约定】
对于全部数据:m<=n;
-1000<=Ai<=1000
N的大小对于不同数据有所不同:
-1000<=Ai<=1000
N的大小对于不同数据有所不同:
分析:
一、部分分算法:
很容易想到的是N^2的DP。。考试的时候,我就写了这个。
但是。。有一些地方没有注意到,下次要注意:①数组一定要开大一点点,防止越界;判断越界的条件一定要写在&&的前面,防止越界。
二、满分算法:sto——cstdio大神。
这个题解正确性的证明来自类似数规的思想,因为比较困难。。所以,被打上了贪心的标签。
我们可以简单地考虑第一次选择的情况。
若此时最大的数为,则在最优解中,易知若不选,则与必同时被选,因为若与没有同时被选,则显然可以将被选的那个换成得到至少不更差的解。
然后。。。
然后我就放弃了,但是题解没有放弃。
题解非常巧妙地使用了一个等效替换的方式,拜托了被选数不能相邻的限制。
当题解选了一个最大值后,题解在原数列中删去那三个数,并同时加入一个数,并用其替代掉原数列中,,三个数,维护其在原数列中相对其他数的位置(双向链表)。
这样的话,就相当于在剩下n-2个数中再选m-1个数;并且我们可以发现ak对数量的贡献依然为1,正如一个普通的数一样。既然其满足如此多地性质,我们不禁想要假设在第二步操作中其依然满足此性质。
综上,一个完整的贪心策略(辅以堆+双向链表)便脱颖而出了。
这种神题往往是能给我们一些启示的:
②复杂的问题往往是由简单的问题变形或组合而来的,在面对复杂的问题时从简单的问题出发往往可以获取一些灵感。
③当面对题目不知所措时,发掘题目中的一些性质往往是解题的黄金之匙:诸如可逆性、对称性、等效性等等,尤其是一些奇怪的性质,绝对是破题的关键;而思考的方向也往往围绕着最值、特殊点等等进行,盲目探索只会消磨时间。
#include<iostream> using namespace std; #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #define size 200001 int heap[size],heapsize=1,point[size],a[size],l[size],r[size]; inline void down(int x){ int now=x,next=x<<1; //cout<<"D:"<<heap[x]<<endl; while(next<heapsize){ if(next+1<heapsize&&a[heap[next+1]]>a[heap[next]])++next; if(a[heap[now]]>a[heap[next]]){/* for(int i=1;i<heapsize;++i) printf("%d(%d) ",heap[i],a[heap[i]]); cout<<endl;*/ return; } //cout<<"(D)"<<heap[now]<<":"<<now<<"->"<<next<<endl; swap(heap[now],heap[next]); swap(point[heap[now]],point[heap[next]]); now=next,next<<=1; } } inline void up(int x){ int now=x,next=x>>1; //cout<<"U:"<<heap[x]<<endl; while(next){ if(a[heap[next]]>a[heap[now]]){/* for(int i=1;i<heapsize;++i) printf("%d(%d) ",heap[i],a[heap[i]]); cout<<endl;*/ return; } //cout<<"(U)"<<heap[now]<<":"<<now<<"->"<<next<<endl; swap(heap[now],heap[next]); swap(point[heap[next]],point[heap[now]]); now=next,next>>=1; } } char * ptr=(char *)malloc(10000000); inline void in(int &x){ bool flag=0; while(*ptr<'0'||*ptr>'9') if(*ptr++=='-') flag=1; x=0; while(*ptr>47&&*ptr<58)x=x*10+*ptr++-'0'; if(flag)x=-x; } int main(){ freopen("nt2011_tree.in","r",stdin); freopen("nt2011_tree.out","w",stdout); int N,M,i,ans=0; fread(ptr,1,10000000,stdin); in(N),in(M); if(N<M<<1){ printf("Error!"); return 0; } for(i=0;i<N;++i)in(a[i]); for(i=N-2;i;--i) l[i]=i-1,r[i]=i+1; l[0]=N-1,r[0]=1,l[N-1]=N-2,r[N-1]=0; for(i=0;i<N;++i){ point[i]=heapsize; heap[heapsize]=i; up(heapsize++); down(point[i]); }/* printf("\n-----------0----------\n"); for(int i=1;i<heapsize;++i) printf("%d(%d) ",heap[i],a[heap[i]]);*/ while(M--){ ans+=a[heap[1]]; //cout<<heap[1]<<":"<<l[heap[1]]<<" "<<r[heap[1]]<<endl; heap[point[l[heap[1]]]]=heap[--heapsize]; point[heap[heapsize]]=point[l[heap[1]]]; up(point[heap[heapsize]]); down(point[heap[heapsize]]); heap[point[r[heap[1]]]]=heap[--heapsize]; point[heap[heapsize]]=point[r[heap[1]]]; up(point[heap[heapsize]]); down(point[heap[heapsize]]); a[heap[1]]=a[l[heap[1]]]+a[r[heap[1]]]-a[heap[1]]; l[heap[1]]=l[l[heap[1]]]; r[heap[1]]=r[r[heap[1]]]; l[r[heap[1]]]=heap[1]; r[l[heap[1]]]=heap[1]; down(1); /*printf("-----------%d----------\n",M); for(int i=1;i<heapsize;++i) printf("%d(%d) ",heap[i],a[heap[i]]); cout<<endl;*/ } printf("%d",ans); }
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