这题只要知道质因数的性质就很容易做了。任意一个正整数（除了1）都可以分解成有限个质数因子的乘积。

那么假如两个数互质，那么这两个数肯定至少各有一个对方没有的质因子。所以若一个数跟n不互质，那么这个的数的质因子肯定也都属于n的质因子，那么就用容斥原理求出所有跟n不互质的所有数的个数。然后再用总的减去即可。

代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <map>
#include <set>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#define LL __int64
const int mod=1e9+7;
const int INF=0x3f3f3f3f;
LL c[2000], tot, ans1, ans2, a, b;
void dfs(int cur, int cnt, LL tmp)
{
        tmp*=c[cur];
        if(cnt&1) {
                ans1+=a/tmp;
                ans2+=b/tmp;
        } else {
                ans1-=a/tmp;
                ans2-=b/tmp;
        }
        for(int i=cur+1; i<tot; i++) {
                dfs(i,cnt+1,tmp);
        }
}
int main()
{
        int t, i, j, num=0;
        LL n;
        scanf("%d",&t);
        while(t--) {
                num++;
                scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&n);
                a--;
                tot=0;
                for(i=2; i*i<=n; i++) {
                        if(n%i==0) {
                                c[tot++]=i;
                                while(n%i==0) n/=i;
                        }
                }
                if(n>1)
                    c[tot++]=n;
                ans1=ans2=0;
                for(i=0; i<tot; i++)
                        dfs(i,1,1);
                printf("Case #%d: ",num);
                printf("%I64d\n",(b-ans2)-(a-ans1));
        }
        return 0;
}

HDU 4135 Co-prime (容斥原理+质因数分解)