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【Foreign】魔法 [组合数][质因数分解]
魔法
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Input
Output
仅一行一个整数表示答案。
Sample Input
4 10
7 2 8 5
7 2 8 5
Sample Output
2
HINT
Source
我们找一下规律，显然发现是就是Σa[i]*C(n-1,i-1)。然后问题主要就转化为了怎么快速求组合数C(n,i)在模一个非质数情况下的值。
首先我们先确定一个式子：
然后我们立马想到了一个暴力分解质因数的方法。就是记录所有的(n-i+1)和(i)的质因数，然后用上面的质因数个数减去下面的质因数个数，剩下的乘起来，就不用求取模了。
但是我们发现，这样显然会TLE，我们考虑如何优化。优化的话显然就是要找到一个办法不把多的质因数都彻底分解出来。我们来继续思考：
我们可以先求出模数的质因数，再对于(n-i+1)和(i)分解质因数。这时候如果质因数和模数的质因数一样，由于不互质没有逆元，就把它记录下来，等下用快速幂乘起来就行了。那么这时候其余的质因数就可以直接求逆元了，由于模数不是质数，我们运用这个公式：（phi暴力求即可）
这样做的话，由于模数的质因数是个数有限的，拆解其余数可以减少很多部分，那么效率就可以得到保证啦。
Code
1 #include<iostream> 2 #include<algorithm> 3 #include<cstdio> 4 #include<cstring> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 typedef long long s64; 9 10 const int Max = 1000005;11 const int ONE = 1000005;12 13 int n,x,MOD;14 int a[ONE];15 int f[Max],p[Max],p_num;16 int Num[Max];17 int Ans;18 19 int get()20 {21 int res=1,Q=1; char c;22 while( (c=getchar())<48 || c>57)23 if(c==‘-‘)Q=-1;24 if(Q) res=c-48; 25 while((c=getchar())>=48 && c<=57) 26 res=res*10+c-48; 27 return res*Q; 28 }29 30 int Quickpow(int a,int b)31 {32 int res=1;33 while(b)34 {35 if(b&1) res=(s64)res*a%MOD;36 a=(s64)a*a%MOD;37 b>>=1;38 }39 return res;40 }41 42 void Deal_prime(int x)43 {44 for(int i=2;i*i<=x;i++)45 if(!(x%i))46 {47 p[++p_num]=i;48 while(!(x%i)) x/=i;49 }50 if(x>1) p[++p_num]=x;51 }52 53 int gcd(int a,int b) {int r=a%b; while(r) {a=b;b=r;r=a%b;} return b;}54 int phi(int x) {int res=0; for(int i=1;i<x;i++)if(gcd(i,x)==1) res++;return res;}55 56 int Add(int x,int P)57 {58 if(!x || x==1) return x;59 for(int i=1;i<=p_num;i++)60 { 61 while(!(x%p[i]))62 {63 x/=p[i];64 Num[p[i]]+=P;65 }66 if(x==1) break;67 }68 return x;69 }70 71 int main()72 { 73 n=get(); MOD=get();74 Deal_prime(MOD);75 int Phi = phi(MOD);76 77 int C=1;78 int record=1;79 for(int i=1;i<=n;i++)80 {81 x=get();82 Ans = (Ans+ (s64)record * x % MOD) % MOD;83 if(i==n) break;84 C = (s64)C * Add(n-i,1) % MOD * Quickpow(Add(i,-1),Phi-1) % MOD;85 record=C;86 for(int j=1;j<=p_num;j++)87 record= (s64)record * Quickpow(p[j],Num[p[j]]) % MOD;88 }89 90 printf("%d",Ans);91 }
【Foreign】魔法 [组合数][质因数分解]
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