称函数$$f(z)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),z\in\mathbb C\setminus\{0\}$$

为Rokovsky函数.显然为全纯函数,我们来考虑其单叶性区域,设$f(z_{1})=f(z_{2}),z_{1}\neq z_{2}$易得$$z_{1}z_{2}=1$$

因此其单叶性区域的充要条件是不包含$z_{1}z_{2}=1$的两个点,据此可以得出其四个单叶性区域:

1.上半平面$U_{1}:\{z:{\rm Im}z>0\}$；2.下半平面$U_{2}:\{z:{\rm Im}z<0\}$；3.单位圆盘$U_{3}:\{z:0<|z|<1\}$；4.单位圆盘外部$U_{4}:\{z:|z|>1\}$

 我们来看上面四个区域在$w=f(z)$下的像集,容易算得$w=f(z)$将实轴$\mathbb R\setminus\{0\}$映成$D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$,另一方面$\forall z_{0}\in\mathbb C\setminus D$,显然方程$f(z)=z_{0}$总有解$$z_{1}=z_{0}+\sqrt{z_{0}^{2}-1},z_{2}=z_{0}-\sqrt{z_{0}^{2}-1}$$

且满足$z_{1}z_{2}=1$.可以看出$z_{1},z_{2}$分别落在$U_{1},U_{2}$中,这说明Rokovsky函数$w=f(z)$将上半平面和下半平面均映成整个复平面去掉两条射线$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$剩下的部分.

类似的我们来看单位圆周$\{z:|z|=1\}$在$w=f(z)$下的像,由于\begin{align*}f(z)&=\frac{z^2+1}{2z}=\frac{z^2\overline{z}+\overline{z}}{2z\overline{z}}=\frac{z+\overline{z}}{2}\in[-1,1]\end{align*}

与前面类似可知Rokovsky函数将$U_{3},U_{4}$均映成复平面去掉线段$[-1,1]$剩下的部分.

Rokovsky函数会在三角函数中发挥作用，例如我们考虑余弦函数$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$

他便可看做旋转$u=iz$,在与指数函数$v=e^u$复合,最后在于Rokovsky函数$w=f(v)$复合得到.

Rokovsky(茹科夫斯基)函数