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欧拉函数性质与求法 [数论][欧拉函数]

n的欧拉函数值用符号φ(n)表示

欧拉函数的定义是,对于一个正整数n,小于n且与n互质的数的数目(包括1,特殊地,φ(1)=1 )。

设p1,p2,p3,...,pr为n的全部r个质因数,则有φ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pr)。

显然,用这个方法来计算单个欧拉函数是可以求解的。

附上代码:

 1 int get_phi(int x){ 2     int re=x; 3     for(int i=2;i*i<=x;i++) 4         if(x%i==0){ 5             re/=i;re*=i-1; 6             while(x%i==0) 7                 x/=i; 8         } 9     //仍有质因数?特判x=2及x=3的情况 10     if(x^1) re/=x,re*=x-1;11     return re;12 }

这个求法的时间复杂度是O(√n)d的。

但这个求法有弊端:

* 对于大量需要计算的欧拉函数值,逐一分解n的时间复杂度显然是十分高的。

 

在使用求解欧拉函数之前,介绍欧拉函数的几个性质:

(1) 欧拉函数是积性函数,即满足φ(mn)=φ(m)φ(n)。

(2) 当n为奇数时,有φ(2n)=φ(n)。

(3) n=∑ d|n φ(d)    ( d|n )。

(4) 对于给定的一个质数p,φ(p)=p -1。则对于正整数 n = p^k ,φ(n) = p^k - p^(k -1)。

(5) 若(N % a == 0 && (N / a) mod a == 0) 则有:φ(N)=φ(N / a) * a。

(6) 若(N % a == 0 && (N / a) mod a != 0)  则有:φ(N)=φ(N / a) * (a - 1)。

 

主要利用以上性质(4)(5)(6),我们可以用递推的方法按以下步骤来打出欧拉函数表。

(1) 记φ(1)=1。这是递推步骤吗。

(2) 根据性质(4),对于质数i,可直接得φ(i)=i-1,把i放入质数表prime中。

(3) 对于i,从头开始枚举质数(思考为什么枚举质数),根据性质(5)(6),当(i mod primej) != 0时,φ(i*primej) = φ(i)*(primej -1)

                             当枚举到(i mod primej) == 0时,φ(i*primej) = φ(i)*(primej),并停止(思考为什么要停止),枚举下一个i。

由此我们得到了打出欧拉函数表的主要代码(变量的定义不在这里展示)

 1     phi[1]=1; 2     for(int i=2;i<=n;i++){ 3         if(!check[i]){ 4             prime[++cnt]=i; 5             phi[i]=i-1; 6         } 7         for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<=n;j++){ 8             check[i*prime[j]]=1; 9             if(i%prime[j])  phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);10             else{11                 phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];12                 break;13             }14         }15     }16 }

可以简单地得知时间复杂度是线性的O(n)。

利用打好的欧拉函数表,我们可以验证它的以上几个性质。


 

性质(2)

1     for(int i=n/2*2;i>1;i-=2)2         if((i/2)&1)3             printf("phi[%d] = %d = phi[%d/2] = phi[%d] = %d\n",i,phi[i],i,i/2,phi[i/2]);

example

 

phi[38] = 18 = phi[38/2] = phi[19] = 18
phi[34] = 16 = phi[34/2] = phi[17] = 16
phi[30] = 8 = phi[30/2] = phi[15] = 8
phi[26] = 12 = phi[26/2] = phi[13] = 12
phi[22] = 10 = phi[22/2] = phi[11] = 10
phi[18] = 6 = phi[18/2] = phi[9] = 6
phi[14] = 6 = phi[14/2] = phi[7] = 6
phi[10] = 4 = phi[10/2] = phi[5] = 4
phi[6] = 2 = phi[6/2] = phi[3] = 2
phi[2] = 1 = phi[2/2] = phi[1] = 1



性质(3)

 1     for(int i=1;i<=n;i++){ 2         printf("%d = ",i); 3         int temp=0; 4         int j; 5         for(j=1;j<=i;j++) 6             if(i%j==0){ 7                 temp+=phi[j]; 8                 printf("phi[%d]( =%d ) ",j,phi[j]); 9                 break;10             }11         for(j=j+1;j<=i;j++)12             if(i%j==0){13                 temp+=phi[j];14                 printf("+ phi[%d]( =%d ) ",j,phi[j]);15             }16         printf(" =%d\n",temp);17     }

example

1 = phi[1]( =1 ) =1
2 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) =2
3 = phi[1]( =1 ) + phi[3]( =2 ) =3
4 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[4]( =2 ) =4
5 = phi[1]( =1 ) + phi[5]( =4 ) =5
6 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[3]( =2 ) + phi[6]( =2 ) =6
7 = phi[1]( =1 ) + phi[7]( =6 ) =7
8 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[4]( =2 ) + phi[8]( =4 ) =8
9 = phi[1]( =1 ) + phi[3]( =2 ) + phi[9]( =6 ) =9
10 = phi[1]( =1 ) + phi[2]( =1 ) + phi[5]( =4 ) + phi[10]( =4 ) =10


 

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