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[混凝土数学] 整型函数

3.1 顶与底

. 定义

  整数是离散数学的支柱.

  我们很多时候, 都要将分数转化为整数.

  为此, 我们定义了两个整值函数: 顶, 底.

 

  $\lceil x\rceil$ 表示 $\ge x$ 的最小整数, 读作 " $x$ 的顶 " .

  $\lfloor x\rfloor$ 表示 $\le x$ 的最大整数, 读作 " $x$ 的底 " .

 

  从多个角度定义一个概念, 这样有利于对概念的理解和应用.

  我们尝试从几何上解释它.

  给定一条自下而上的数轴.

  $\lceil x\rceil$ 就是从 $x$ 点出发, 向上扫描找到的第一个整点.

  $\lfloor x\rfloor$ 就是从 $x$ 点出发, 向下扫描找到的第一个整点.

 

  几何上还有第二个解释, 我们尝试建立平面直角坐标系.

. 性质与应用

  我们要弄清整值函数的性质, 并用一些简单的例子加以理解, 进而有更深远的应用.

  出于应用的目的, 一些过于简单或无用的探究结果不予以显示.

性质1

  $\lceil x\rceil = x\Leftrightarrow x为整数 \Leftrightarrow \lfloor x\rfloor = x$ .

性质2

  $\lceil x\rceil - \lfloor x\rfloor = [x不为整数]$ .

  这是一个机智的命题, 给定了 $\lceil x\rceil$ 与 $\lfloor x\rfloor$ 之间的一个关系.

性质3

  $x-1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x+1$ .

性质4

  $\lfloor -x\rfloor = -\lceil x\rceil$ .

  $\lceil -x\rceil = -\lfloor x\rfloor$ .

性质5 整值函数等于整数 n 的等价条件

  $\lfloor x\rfloor = n \Leftrightarrow n\le x<n+1  \Leftrightarrow x-1<n\le x$

  $\lceil x\rceil = n\Leftrightarrow n-1<x\le n \Leftrightarrow x\le n<x+1$

性质6 整值函数与整数 n 的不等关系的等价条件

  左闭右开, 顶函数: $a\le x<b \Leftrightarrow \lceil a\rceil \le x < \lceil b \rceil$ .

  左开右闭, 底函数: $a < x\le b \Leftrightarrow \lfloor a\rfloor < x \le \lfloor b\rfloor$ .

  通常配套使用的还有结论: $a < n \Leftrightarrow a+1\le n$ .

  于是,  $\lfloor a\rfloor \le x \Leftrightarrow \lfloor a \rfloor < x+1\Leftrightarrow a < x+1$ .

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