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经典算法题每日演练——第十二题 线段树
原文:经典算法题每日演练——第十二题 线段树
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这一篇我们来看树状数组的加强版线段树，树状数组能玩的线段树一样可以玩，而且能玩的更好，他们在区间求和，最大，平均
等经典的RMQ问题上有着对数时间的优越表现。
一：线段树
线段树又称"区间树”，在每个节点上保存一个区间，当然区间的划分采用折半的思想，叶子节点只保存一个值，也叫单元节点，所
以最终的构造就是一个平衡的二叉树，拥有CURD的O(lgN)的时间。
从图中我们可以清楚的看到[0-10]被划分成线段的在树中的分布情况，针对区间[0-N]，最多有2N个节点，由于是平衡二叉树的形
式也可以像堆那样用数组来玩，不过更加耗费空间，为最多4N个节点，在针对RMQ的问题上，我们常常在每个节点上增加一些sum，
max，min等变量来记录求得的累加值，当然你可以理解成动态规划的思想，由于拥有logN的时间，所以在RMQ问题上比数组更加优美。
二：代码
1:在节点中定义一些附加值，方便我们处理RMQ问题。
1 #region 线段树的节点 2 /// <summary> 3 /// 线段树的节点 4 /// </summary> 5 public class Node 6 { 7 /// <summary> 8 /// 区间左端点 9 /// </summary>10 public int left;11 12 /// <summary>13 /// 区间右端点14 /// </summary>15 public int right;16 17 /// <summary>18 /// 左孩子19 /// </summary>20 public Node leftchild;21 22 /// <summary>23 /// 右孩子24 /// </summary>25 public Node rightchild;26 27 /// <summary>28 /// 节点的sum值29 /// </summary>30 public int Sum;31 32 /// <summary>33 /// 节点的Min值34 /// </summary>35 public int Min;36 37 /// <summary>38 /// 节点的Max值39 /// </summary>40 public int Max;41 }42 #endregion
2：构建(Build)
前面我也说了，构建有两种方法，数组的形式或者链的形式，各有特点，我就采用后者，时间为O(N)。
1 #region 根据数组构建“线段树" 2 /// <summary> 3 /// 根据数组构建“线段树" 4 /// </summary> 5 /// <param name="length"></param> 6 public Node Build(int[] nums) 7 { 8 this.nums = nums; 9 10 return Build(nodeTree, 0, nums.Length - 1);11 }12 #endregion13 14 #region 根据数组构建“线段树"15 /// <summary>16 /// 根据数组构建“线段树"17 /// </summary>18 /// <param name="left"></param>19 /// <param name="right"></param>20 public Node Build(Node node, int left, int right)21 {22 //说明已经到根了，当前当前节点的max，sum，min值（回溯时统计上一层节点区间的值）23 if (left == right)24 {25 return new Node26 {27 left = left,28 right = right,29 Max = nums[left],30 Min = nums[left],31 Sum = nums[left]32 };33 }34 35 if (node == null)36 node = new Node();37 38 node.left = left;39 40 node.right = right;41 42 node.leftchild = Build(node.leftchild, left, (left + right) / 2);43 44 node.rightchild = Build(node.rightchild, (left + right) / 2 + 1, right);45 46 //统计左右子树的值(min，max，sum)47 node.Min = Math.Min(node.leftchild.Min, node.rightchild.Min);48 node.Max = Math.Max(node.leftchild.Max, node.rightchild.Max);49 node.Sum = node.leftchild.Sum + node.rightchild.Sum;50 51 return node;52 }53 #endregion
3：区间查询
在线段树中，区间查询还是有点小麻烦的，存在三种情况。
① 完全包含：也就是节点的线段范围完全在查询区间的范围内，这说明我们要么到了“单元节点",要么到了一个子区间，这种情况
就是我找到了查询区间的某一个子区间，直接累积该区间值就可以了。
② 左交集： 这种情况我们需要到左子树去遍历。
③右交集： 这种情况我们需要到右子树去遍历。
比如说：我要查询Sum[4-8]的值,最终会成为:Sum总=Sum[4-4]+Sum[5-5]+Sum[6-8]，时间为log(N)。
1 #region 区间查询 2 /// <summary> 3 /// 区间查询(分解) 4 /// </summary> 5 /// <returns></returns> 6 public int Query(int left, int right) 7 { 8 int sum = 0; 9 10 Query(nodeTree, left, right, ref sum);11 12 return sum;13 }14 15 /// <summary>16 /// 区间查询17 /// </summary>18 /// <param name="left">查询左边界</param>19 /// <param name="right">查询右边界</param>20 /// <param name="node">查询的节点</param>21 /// <returns></returns>22 public void Query(Node node, int left, int right, ref int sum)23 {24 //说明当前节点完全包含在查询范围内，两点：要么是单元节点，要么是子区间25 if (left <= node.left && right >= node.right)26 {27 //获取当前节点的sum值28 sum += node.Sum;29 return;30 }31 else32 {33 //如果当前的left和right 和node的left和right无交集，此时可返回34 if (node.left > right || node.right < left)35 return;36 37 //找到中间线38 var middle = (node.left + node.right) / 2;39 40 //左孩子有交集41 if (left <= middle)42 {43 Query(node.leftchild, left, right, ref sum);44 }45 //右孩子有交集46 if (right >= middle)47 {48 Query(node.rightchild, left, right, ref sum);49 }50 51 }52 }53 #endregion
4：更新操作
这个操作跟树状数组中的更新操作一样，当递归的找到待修改的节点后，改完其值然后在当前节点一路回溯，并且在回溯的过程中一
路修改父节点的附加值直到根节点，至此我们的操作就完成了，复杂度同样为logN。
1 #region 更新操作 2 /// <summary> 3 /// 更新操作 4 /// </summary> 5 /// <param name="index"></param> 6 /// <param name="key"></param> 7 public void Update(int index, int key) 8 { 9 Update(nodeTree, index, key);10 }11 12 /// <summary>13 /// 更新操作14 /// </summary>15 /// <param name="index"></param>16 /// <param name="key"></param>17 public void Update(Node node, int index, int key)18 {19 if (node == null)20 return;21 22 //取中间值23 var middle = (node.left + node.right) / 2;24 25 //遍历左子树26 if (index >= node.left && index <= middle)27 Update(node.leftchild, index, key);28 29 //遍历右子树30 if (index <= node.right && index >= middle + 1)31 Update(node.rightchild, index, key);32 33 //在回溯的路上一路更改，复杂度为lgN34 if (index >= node.left && index <= node.right)35 {36 //说明找到了节点37 if (node.left == node.right)38 {39 nums[index] = key;40 41 node.Sum = node.Max = node.Min = key;42 }43 else44 {45 //回溯时统计左右子树的值(min，max，sum)46 node.Min = Math.Min(node.leftchild.Min, node.rightchild.Min);47 node.Max = Math.Max(node.leftchild.Max, node.rightchild.Max);48 node.Sum = node.leftchild.Sum + node.rightchild.Sum;49 }50 }51 }52 #endregion最后我们做个例子，在2000000的数组空间中，寻找200-3000区间段的sum值，看看他的表现如何。
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1 using System; 2 using System.Collections.Generic; 3 using System.Linq; 4 using System.Text; 5 using System.Diagnostics; 6 using System.Threading; 7 using System.IO; 8 9 namespace ConsoleApplication2 10 { 11 public class Program 12 { 13 public static void Main() 14 { 15 int[] nums = new int[200 * 10000]; 16 17 for (int i = 0; i < 10000 * 200; i++) 18 { 19 nums[i] = i; 20 } 21 22 Tree tree = new Tree(); 23 24 //将当前数组构建成 “线段树” 25 tree.Build(nums); 26 27 var watch = Stopwatch.StartNew(); 28 29 var sum = tree.Query(200, 3000); 30 31 watch.Stop(); 32 33 Console.WriteLine("耗费时间:{0}ms, 当前数组有:{1}个数字, 求出Sum=:{2}", watch.ElapsedMilliseconds, nums.Length, sum); 34 35 Console.Read(); 36 } 37 } 38 39 public class Tree 40 { 41 #region 线段树的节点 42 /// <summary> 43 /// 线段树的节点 44 /// </summary> 45 public class Node 46 { 47 /// <summary> 48 /// 区间左端点 49 /// </summary> 50 public int left; 51 52 /// <summary> 53 /// 区间右端点 54 /// </summary> 55 public int right; 56 57 /// <summary> 58 /// 左孩子 59 /// </summary> 60 public Node leftchild; 61 62 /// <summary> 63 /// 右孩子 64 /// </summary> 65 public Node rightchild; 66 67 /// <summary> 68 /// 节点的sum值 69 /// </summary> 70 public int Sum; 71 72 /// <summary> 73 /// 节点的Min值 74 /// </summary> 75 public int Min; 76 77 /// <summary> 78 /// 节点的Max值 79 /// </summary> 80 public int Max; 81 } 82 #endregion 83 84 Node nodeTree = new Node(); 85 86 int[] nums; 87 88 #region 根据数组构建“线段树" 89 /// <summary> 90 /// 根据数组构建“线段树" 91 /// </summary> 92 /// <param name="length"></param> 93 public Node Build(int[] nums) 94 { 95 this.nums = nums; 96 97 return Build(nodeTree, 0, nums.Length - 1); 98 } 99 #endregion100 101 #region 根据数组构建“线段树"102 /// <summary>103 /// 根据数组构建“线段树"104 /// </summary>105 /// <param name="left"></param>106 /// <param name="right"></param>107 public Node Build(Node node, int left, int right)108 {109 //说明已经到根了，当前当前节点的max，sum，min值（回溯时统计上一层节点区间的值）110 if (left == right)111 {112 return new Node113 {114 left = left,115 right = right,116 Max = nums[left],117 Min = nums[left],118 Sum = nums[left]119 };120 }121 122 if (node == null)123 node = new Node();124 125 node.left = left;126 127 node.right = right;128 129 node.leftchild = Build(node.leftchild, left, (left + right) / 2);130 131 node.rightchild = Build(node.rightchild, (left + right) / 2 + 1, right);132 133 //统计左右子树的值(min，max，sum)134 node.Min = Math.Min(node.leftchild.Min, node.rightchild.Min);135 node.Max = Math.Max(node.leftchild.Max, node.rightchild.Max);136 node.Sum = node.leftchild.Sum + node.rightchild.Sum;137 138 return node;139 }140 #endregion141 142 #region 区间查询143 /// <summary>144 /// 区间查询(分解)145 /// </summary>146 /// <returns></returns>147 public int Query(int left, int right)148 {149 int sum = 0;150 151 Query(nodeTree, left, right, ref sum);152 153 return sum;154 }155 156 /// <summary>157 /// 区间查询158 /// </summary>159 /// <param name="left">查询左边界</param>160 /// <param name="right">查询右边界</param>161 /// <param name="node">查询的节点</param>162 /// <returns></returns>163 public void Query(Node node, int left, int right, ref int sum)164 {165 //说明当前节点完全包含在查询范围内，两点：要么是单元节点，要么是子区间166 if (left <= node.left && right >= node.right)167 {168 //获取当前节点的sum值169 sum += node.Sum;170 return;171 }172 else173 {174 //如果当前的left和right 和node的left和right无交集，此时可返回175 if (node.left > right || node.right < left)176 return;177 178 //找到中间线179 var middle = (node.left + node.right) / 2;180 181 //左孩子有交集182 if (left <= middle)183 {184 Query(node.leftchild, left, right, ref sum);185 }186 //右孩子有交集187 if (right >= middle)188 {189 Query(node.rightchild, left, right, ref sum);190 }191 192 }193 }194 #endregion195 196 #region 更新操作197 /// <summary>198 /// 更新操作199 /// </summary>200 /// <param name="index"></param>201 /// <param name="key"></param>202 public void Update(int index, int key)203 {204 Update(nodeTree, index, key);205 }206 207 /// <summary>208 /// 更新操作209 /// </summary>210 /// <param name="index"></param>211 /// <param name="key"></param>212 public void Update(Node node, int index, int key)213 {214 if (node == null)215 return;216 217 //取中间值218 var middle = (node.left + node.right) / 2;219 220 //遍历左子树221 if (index >= node.left && index <= middle)222 Update(node.leftchild, index, key);223 224 //遍历右子树225 if (index <= node.right && index >= middle + 1)226 Update(node.rightchild, index, key);227 228 //在回溯的路上一路更改，复杂度为lgN229 if (index >= node.left && index <= node.right)230 {231 //说明找到了节点232 if (node.left == node.right)233 {234 nums[index] = key;235 236 node.Sum = node.Max = node.Min = key;237 }238 else239 {240 //回溯时统计左右子树的值(min，max，sum)241 node.Min = Math.Min(node.leftchild.Min, node.rightchild.Min);242 node.Max = Math.Max(node.leftchild.Max, node.rightchild.Max);243 node.Sum = node.leftchild.Sum + node.rightchild.Sum;244 }245 }246 }247 #endregion248 }249 }
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