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【转载】ICA扩展描述

ICA扩展描述

7. ICA算法扩展描述

     上面介绍的内容基本上是讲义上的,与我看的另一篇《Independent Component Analysis:

Algorithms and Applications》(Aapo Hyvärinen and Erkki Oja)有点出入。下面总结一下这篇文章里提到的一些内容(有些我也没看明白)。

     首先里面提到了一个与“独立”相似的概念“不相关(uncorrelated)”。Uncorrelated属于部分独立,而不是完全独立,怎么刻画呢?

     如果随机变量技术分享技术分享是独立的,当且仅当技术分享

     如果随机变量技术分享技术分享是不相关的,当且仅当技术分享

     第二个不相关的条件要比第一个独立的条件“松”一些。因为独立能推出不相关,不相关推不出独立。

     证明如下:

     技术分享

     技术分享

     技术分享

     反过来不能推出。

     比如,技术分享技术分享的联合分布如下(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)。

     技术分享

     因此技术分享技术分享不相关,但是

     技术分享

     因此技术分享技术分享不满足上面的积分公式,技术分享技术分享不是独立的。

     上面提到过,如果技术分享是高斯分布的,A是正交的,那么技术分享也是高斯分布的,且技术分享技术分享之间是独立的。那么无法确定A,因为任何正交变换都可以让技术分享达到同分布的效果。但是如果技术分享中只有一个分量是高斯分布的,仍然可以使用ICA。

     那么ICA要解决的问题变为:如何从x中推出s,使得s最不可能满足高斯分布?

     中心极限定理告诉我们:大量独立同分布随机变量之和满足高斯分布。

     技术分享

     我们一直假设的是技术分享是由独立同分布的主元技术分享经过混合矩阵A生成。那么为了求技术分享,我们需要计算技术分享的每个分量技术分享。定义技术分享,那么技术分享,之所以这么麻烦再定义z是想说明一个关系,我们想通过整出一个技术分享来对技术分享进行线性组合,得出y。而我们不知道得出的y是否是真正的s的分量,但我们知道y是s的真正分量的线性组合。由于我们不能使s的分量成为高斯分布,因此我们的目标求是让y(也就是技术分享)最不可能是高斯分布时的w。

     那么问题递归到如何度量y是否是高斯分布的了。

     一种度量方法是kurtosis方法,公式如下:

     技术分享

     如果y是高斯分布,那么该函数值为0,否则绝大多数情况下值不为0。

     但这种度量方法不怎么好,有很多问题。看下一种方法:

     负熵(Negentropy)度量方法。

     我们在信息论里面知道对于离散的随机变量Y,其熵是

     技术分享

     连续值时是

     技术分享

     在信息论里有一个强有力的结论是:高斯分布的随机变量是同方差分布中熵最大的。也就是说对于一个随机变量来说,满足高斯分布时,最随机。

     定义负熵的计算公式如下:

     技术分享

     也就是随机变量y相对于高斯分布时的熵差,这个公式的问题就是直接计算时较为复杂,一般采用逼近策略。

     技术分享

     这种逼近策略不够好,作者提出了基于最大熵的更优的公式:

     技术分享

     之后的FastICA就基于这个公式。

     另外一种度量方法是最小互信息方法:

     技术分享

     这个公式可以这样解释,前一个H是技术分享的编码长度(以信息编码的方式理解),第二个H是y成为随机变量时的平均编码长度。之后的内容包括FastICA就不再介绍了,我也没看懂。

 
8. ICA的投影追踪解释(Projection Pursuit)

     投影追踪在统计学中的意思是去寻找多维数据的“interesting”投影。这些投影可用在数据可视化、密度估计和回归中。比如在一维的投影追踪中,我们寻找一条直线,使得所有的数据点投影到直线上后,能够反映出数据的分布。然而我们最不想要的是高斯分布,最不像高斯分布的数据点最interesting。这个与我们的ICA思想是一直的,寻找独立的最不可能是高斯分布的s。

     在下图中,主元是纵轴,拥有最大的方差,但最interesting的是横轴,因为它可以将两个类分开(信号分离)。

     技术分享

9. ICA算法的前处理步骤

     1、中心化:也就是求x均值,然后让所有x减去均值,这一步与PCA一致。

     2、漂白:目的是将x乘以一个矩阵变成技术分享,使得技术分享的协方差矩阵是技术分享。解释一下吧,原始的向量是x。转换后的是技术分享

     技术分享的协方差矩阵是技术分享,即

     技术分享

     我们只需用下面的变换,就可以从x得到想要的技术分享

     技术分享

     其中使用特征值分解来得到E(特征向量矩阵)和D(特征值对角矩阵),计算公式为

     技术分享

     下面用个图来直观描述一下:

     假设信号源s1和s2是独立的,比如下图横轴是s1,纵轴是s2,根据s1得不到s2。

     技术分享

     我们只知道他们合成后的信号x,如下

     技术分享

     此时x1和x2不是独立的(比如看最上面的尖角,知道了x1就知道了x2)。那么直接代入我们之前的极大似然概率估计会有问题,因为我们假定x是独立的。

     因此,漂白这一步为了让x独立。漂白结果如下:

     技术分享

     可以看到数据变成了方阵,在技术分享的维度上已经达到了独立。

     然而这时x分布很好的情况下能够这样转换,当有噪音时怎么办呢?可以先使用前面提到的PCA方法来对数据进行降维,滤去噪声信号,得到k维的正交向量,然后再使用ICA。

 
10. 小结

     ICA的盲信号分析领域的一个强有力方法,也是求非高斯分布数据隐含因子的方法。从之前我们熟悉的样本-特征角度看,我们使用ICA的前提条件是,认为样本数据由独立非高斯分布的隐含因子产生,隐含因子个数等于特征数,我们要求的是隐含因子。

     而PCA认为特征是由k个正交的特征(也可看作是隐含因子)生成的,我们要求的是数据在新特征上的投影。同是因子分析,一个用来更适合用来还原信号(因为信号比较有规律,经常不是高斯分布的),一个更适合用来降维(用那么多特征干嘛,k个正交的即可)。有时候也需要组合两者一起使用。这段是我的个人理解,仅供参考。

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