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bzoj3505: [Cqoi2014]数三角形 [数论][gcd]

2024-11-17 00:46:02   202人阅读

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围
1<=m,n<=1000
技术分享

太伤心了。。不能abs(int)???

首先格点个数是(n+1)*(m+1)的，所以我们先把n和m都+1。 先选出三个不同点，方案数是C(n*m,3)。 接下来扣掉三点共线的情况。 枚举两个点，计算以它们为端点的线段上的整点个数。 不难发现是gcd(x1-x2,y1-y2)-1。 线段是可以平移的，那么我们把其中一个点固定在(0,0)，只枚举另一个点的坐标，然后乘上方案数就行了。 时间复杂度O(nm)

 1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 #define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl 6  7 typedef long long ll; 8  9 const int maxn=1005;10 11 int n,m,f[maxn][maxn],ens;12 ll ans;13 14 ll C(int a,int b){15     ll res=1;16     for(int i=a;i>a-b;i--)  res*=i;17     for(int i=b;i>1;i--)  res/=i;18     return res;19 }20 21 int gcd(int a,int b){22     if(f[a][b])  return f[a][b];23     return b?(f[a][b]=gcd(b,a%b)):a;24 }25 26 int main(){27     scanf("%d%d",&n,&m);28     n++;  m++;29     ans=C(n*m,3);30     for(int i=-n+1;i<=n-1;i++)31         for(int j=0;j<=m-1;j++){32             //避免重复计算 33             if(!j&&i<=0)  continue;34             ens=gcd(i<0?-i:i,j)-1;35 //            dbg(abs(i));  dbg(j);  dbg(ens);36             ans-=1ll*ens*(n-(i<0?-i:i))*(m-j);37         }38     printf("%lld\n",ans);39     return 0;40 }

 

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