n个keyword序列Kl，K2，…，Kn称为（Heap）。当且仅当该序列满足例如以下性质（简称为堆性质）：

1)ki<=k(2i）且ki<=k(2i+1)(1≤i≤ n/2）。当然。这是小根堆。大根堆则换成>=号。//k(i）相当于二叉树的非叶子结点，K(2i）则是左子节点。k(2i+1）是右子节点

2)若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵全然二叉树的存储结构，则堆实质上是满足例如以下性质的全然二叉树：

① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆。此堆为初始的无序区

② 再将keyword最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]。且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key

③因为交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。

然后再次将R[1..n-1]中keyword最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换。由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]。且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，相同要将R[1..n-2]调整为堆。

……

直到无序区仅仅有一个元素为止。

（3）大根堆排序算法的基本操作：

①建堆。建堆是不断调整堆的过程，从len/2处開始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程。从len/2到0处一直调用调整堆的过程。相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 当中h表示节点的深度。len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。

②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到。并且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比較节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者。假设最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点。那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，由于是沿着深度方向进行调整的。

③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是依据元素构建堆。

然后将堆的根节点取出(通常是与最后一个节点进行交换)。将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到全部节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。由于建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）。调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次。所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)。

2、堆的存储

#include <iostream>

void printArray(int theArray[], int n)
{
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		std::cout << theArray[i] << " ";
	}
	std::cout << std::endl;
}

void adjustHeap(int theArray[], int n, int start)  //从start索引处结点開始调整 
{
	if(start < 0 || start >= n)
		return;
	int fatherIndex;
	int leftIndex;
	int rightIndex;
	int tmp;
	
	fatherIndex = start;
	leftIndex = 2 * fatherIndex + 1;        //start索引处结点的左孩子的索引 
	rightIndex = leftIndex + 1;             //start索引处结点的右孩子的索引 
	
	if(rightIndex < n)          //start索引处结点存在右孩子结点. 
	{
		if(theArray[fatherIndex] < theArray[rightIndex])     //右孩子结点大于start索引处结点 。交换 
		{
			tmp = theArray[fatherIndex];
			theArray[fatherIndex] = theArray[rightIndex];
			theArray[rightIndex] = tmp; 
		}
	}
	if(leftIndex < n)       //start索引处结点存在左孩子结点，但不一定存在右孩子结点
	{
		if(theArray[fatherIndex] < theArray[leftIndex])     //右孩子结点大于左孩子结点树，交换 
		{
			tmp = theArray[fatherIndex];
			theArray[fatherIndex] = theArray[leftIndex];
			theArray[leftIndex] = tmp;
		}
	} 
	adjustHeap(theArray, n, start-1);         //再次递归调整start索引处的上一个结点 
}

void constructHeap(int theArray[], int n)
{
	int start = n / 2; 
	adjustHeap(theArray, n, start);                 //从length/2处開始调整 
}

void heapSort(int theArray[], int n)
{
	if(n == 1)                                    //当未排序序列中仅仅剩一个元素时，直接跳出递归 
		return;
	int length = n;
	
	//printArray(theArray, length);              //打印出每次建立最大堆之后，数组排列情况 
	
	//将最大堆的堆顶元素与堆末尾元素交换，并取出该元素作为已排序数组元素 
	int tmp = theArray[0];                    
	theArray[0] = theArray[length-1];
	theArray[length-1] = tmp;
	 
	//再次调整交换后的堆，使得为满足最大堆 
	--length;                 //未排序序列长度减一 
	int start = length / 2;   
	adjustHeap(theArray, length, start);
	heapSort(theArray, length);             //递归进行堆排序 
}

int main(int argc, char *argv[]) {
	int myArray[] = {5,90,28,4,88,58,38,18,19,20};
	int length = sizeof(myArray) / sizeof(myArray[0]);
	constructHeap(myArray, length);
	heapSort(myArray, length);
	printArray(myArray, length);
	return 0;
}

4、堆的时间复杂度和空间复杂度