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当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于
任何一个子节点的键值时为最小堆。
最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆

堆的存储
一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i +
1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

如何在输出堆顶元素之后，调整剩余元素成为一个新的堆？
一般在输出堆顶元素之后，视为将这个元素排除，然后用表中最后一个元素填补它的位置，自上向下进行调整：首先将堆顶元素和它的左右子树的根结点进行比较，把最小的元素交换到堆顶；然后顺着被破坏的路径一路调整下去，直至叶子结点，就得到新的堆。
我们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。
从无序序列建立堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。

构造初始堆
初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。
最后一个非终端元素的下标是[n/2]向下取整，所以筛选只需要从第[n/2]向下取整个元素开始，从后往前进行调整。
比如，给定一个数组，首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。
然后从最后一个非叶子结点开始，每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换，交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质，所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。

进行堆排序
有了初始堆之后就可以进行排序了。
堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。
排序开始，首先输出堆顶元素（因为它是最值），将堆顶元素和最后一个元素交换，这样，第n个位置（即最后一个位置）作为有序区，前n-1个位置仍是无序区，对无序区进行调整，得到堆之后，再交换堆顶和最后一个元素，这样有序区长度变为2。。。
不断进行此操作，将剩下的元素重新调整为堆，然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1，有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1，排序完成。

//堆的插入
//每次插入都是将新数据放在数组最后。
//可以发现从这个新数据的父结点到根结点
//必然为一个有序的数列，现在的任务是将这
//个新数据插入到这个有序数据中——这就类似
//于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中
void minheapfixup(int a[],int i)
{
    int j;
    int temp=a[i];
    j=(i-1)/2;
    while(j>=0&&i!=0)
    {
        if (a[j]<=temp)
            break;
        a[i]=a[j];
        i=j;
        j=(i-1)/2;
    }
    a[i]=temp;
}

//在最小堆中加入新的数据nNum
void minheapaddnumber(int a[],int n,int nnum)
{
    a[n]=nnum;
    minheapfixup(a,n);
}

//堆的删除
//按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于
//重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结
//点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。
//调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比
//这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父
//结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点
//将一个数据的“下沉”过程。
void minheapfixdown(int a[],int i,int n)
{
    int j,temp;
    temp=a[i];
    j=2*i+1;
    while(j<n)
    {
        if (j+1<n&&a[j+1]<a[j])
            j++;
        if (a[j]>=temp)
            break;
        a[i]=a[j];
        i=j;
        j=2*i+1;
    }
    a[i]=temp;
}
//在最小堆中删除数
void minheapdeletenumber(int a[],int n)
{
    swap(a[0],a[n-1]);
    minheapfixdown(a,0,n-1);
}



//建立最小堆
void makeminheap(int a[],int n)
{
    for (int i=n/2-1; i>=0; i--)
        minheapfixdown(a,i,n);
}

//堆排序
void minheapsort(int a[],int n)
{
    for (int i=n-1; i>=1; i--)
    {
        swap(a[i],a[0]);
        minheapfixdown(a,0,i);
    }
}

堆排序源代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

//自顶向下调整堆
void minheapfixdown(int a[],int i,int n)
{
    int j,temp;
    temp=a[i];
    j=2*i+1;
    while(j<n)
    {
        if (j+1<n&&a[j+1]<a[j])
            j++;
        if (a[j]>=temp)
            break;
        a[i]=a[j];
        i=j;
        j=2*i+1;
    }
    a[i]=temp;
}

//建立最小堆
void makeminheap(int a[],int n)
{
    for (int i=n/2-1; i>=0; i--)
        minheapfixdown(a,i,n);
}

//堆排序
void minheapsort(int a[],int n)
{
    for (int i=n-1; i>=1; i--)
    {
        swap(a[i],a[0]);
        minheapfixdown(a,0,i);
    }
}

int main()
{
    int a[100];
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        int i;
        for (i=0; i<n; i++)
            cin>>a[i];
        makeminheap(a,n);
        minheapsort(a,n);
        for (i=0; i<n; i++)
            cout<<a[i]<<" ";
        cout<<endl;
    }
}

堆排序