1. 决策树是什么?

简单地理解，就是根据一些 feature 进行分类，每个节点提一个问题，通过判断，将数据分为几类，再继续提问。这些问题是根据已有数据学习出来的，再投入新数据的时候，就可以根据这棵树上的问题，将数据划分到合适的叶子上。

2. 决策树有什么算法?

常用的几种决策树算法有ID3、C4.5、CART：

ID3：选择信息熵增益最大的feature作为node，实现对数据的归纳分类。

C4.5：是ID3的一个改进，比ID3准确率高且快，可以处理连续值和有缺失值的feature。

CART：使用基尼指数的划分准则，通过在每个步骤最大限度降低不纯洁度，CART能够处理孤立点以及能够对空缺值进行处理。

3. 数学原理?

ID3: Iterative Dichotomiser 3

下面这个数据集，可以同时被上面两颗树表示，结果是一样的，而我们更倾向于选择简单的树。

那么怎样做才能使得学习到的树是最简单的呢?

下面是 ID3( Iterative Dichotomiser 3 )的算法：

例如下面数据集，哪个是最好的 Attribute?

用熵Entropy来衡量：

E(S) 是数据集S的熵

i 指每个结果，即 No，Yes的概率

E越大意味着信息越混乱，我们的目标是要让E最小。

E在0-1之间，如果P+的概率在0.5， 此时E最大，这时候说明信息对我们没有明确的意义，对分类没有帮助。

但是我们不仅仅想要变量的E最小，还想要这棵树是 well organized。

所以用到 Gain：信息增益

意思是如果我后面要用这个变量的话，它的E会减少多少。

例如下面的数据集：

先计算四个feature的熵E，及其分支的熵，然后用Gain的公式计算信息增益。

再选择Gain最大的特征是 outlook。

第一层选择出来后，各个分支再继续选择下一层，计算Gain最大的，例如分支 sunny 的下一层节点是 humidity。

C4.5

ID3有个局限是对于有大量数据的feature过于敏感，C4.5是它的一个改进，通过选择最大的信息增益率 gain ratio 来选择节点。而且它可以处理连续的和有缺失值的数据。

例如 outlook 作为第一层节点后，它有 3 个分支，分别有 5，4，5 条数据，则 SplitInfo(5,4,5) = -5/14log(5,14)-4/14log(4,14)-5/14(5,14) ，其中 log(5,14) 即为 log2(5/14)。

下面是一个有连续值和缺失值的例子：

连续值

第一步计算 Gain，除了连续值的 humudity，其他步骤和前文一样。

要计算 humudity 的 Gain 的话，先把所有值升序排列：

{65, 70, 70, 70, 75, 78, 80, 80, 80, 85, 90, 90, 95, 96}

然后把重复的去掉：

{65, 70, 75, 78, 80, 85, 90, 95, 96}

如下图所示，按区间计算 Gain，然后选择最大的 Gain (S, Humidity) = 0.102

因为 Gain(S, Outlook) = 0 .246，所以root还是outlook：

缺失值

处理有缺失值的数据时候，用下图的公式：

例如 D12 是不知道的。

计算全集和 outlook 的 info，

其中几个分支的熵如下，再计算出 outlook 的 Gain：

比较一下 ID3 和 C4.5 的准确率和时间：

accuracy ：

execution time：

4. 编码实现算法?

接下来以 C4.5 的代码为例：

1. 定义数据：

2. 计算熵：

3. 选择最大的gain ratio对应的feature：

4. 划分数据，为下一层计算准备:

5. 多重字典构建树：

6. 可视化决策树的结果:

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