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最小公约数（欧几里得算法&&stein算法）

2024-08-01 18:33:27   219人阅读

求最小公约数，最容易想到的是欧几里得算法，这个算法也是比较容易理解的，效率也是很不错的。也叫做辗转相除法。

对任意两个数a，b（a>b），d=gcd（a，b），如果b不为零，那么gcd（a，b）=gcd（b，a%b）

证明： 令 r=a%b，即存在k，使得 a=b*k+r，那么r=a-b*k；显然r>=0,  r%d=（（a%d）-（b*k）%d）%d，因为a%d=b%d=0，所以r%d=0；

因此求gcd（a，b）可以转移到求gcd（b，a%b），那么这就是个递归过程了，那什么时候递归结束呢，想一下，a，b不能为零，则可以把当b为零，作为递归的结束（当然还可以以其它结束条件），这就是求最大公约数的方法可以以其它结束条件），这就是求最大公约数的方法。

欧几里得递归版：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
非递归版：

int gcd(int a,int b)//euclid
{
    int r;
    while(b!=0)
    {
        r=a%b;
        a=b;
        b=r;
    }
    return a;
}

Stein算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。
硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过 64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J. Stein于1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论： 
gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身 
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除 
当k不能整除b，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2。
算法步骤：
　   1、如果A=0，B是最大公约数，算法结束
　　2、如果B=0，A是最大公约数，算法结束
　　3、设置A1=A、B1=B和C1=1
　　4、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
　　5、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
　　6、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
　　7、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
　　8、n加1，转1

比较好理解吧，实现起来也比较简单，效率也不比员算法差；

下面是实现的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
int stein(int a,int b)
{
    if(a==0) return b;
    if(b==0) return a;
    if(a%2==0 && b%2==0) return 2*stein(a>>1,b>>1);
    else if(a%2==0)   return stein(a>>1,b);
    else if(b%2==0)   return stein(a,b>>1);
    else return stein(abs(a-b),min(a,b));
}
int main()
{
    int a,b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    printf("%d\n",stein(a,b));
}






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