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欧几里得 & 拓展欧几里得算法 解说 (Euclid & Extend- Euclid Algorithm)

欧几里得& 拓展欧几里得(Euclid & Extend-Euclid)

欧几里得算法(Euclid)

背景

欧几里德算法又称辗转相除法。用于计算两个正整数a。b的最大公约数。

                                                                                                                                              ——百度百科

代码:

递推的代码是相当的简洁:

int gcd(int a,int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }


分析:

方法说了是辗转相除法,自然没有什么好介绍的了。

Fresh肯定会认为这样递归下去会不会爆栈?实际上在这里是不会爆栈的,由于递归的层数是很小的,不信你能够随便拿一些大数測试一下,lrj的白书和紫书上讲到gcd函数的递归层数不超过40785lgN + 1.6723,当中N=max{a,b}。让gcd函数递归层数最多的是gcd(F(n),F(n-1))。F(n)是Fibonacci数!!至于为什么博主没有证明。有想法的小伙伴麻烦在评论在说下下。(*^__^*) 嘻嘻……

拓展欧几里得(Extend- Euclid)

背景:

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y [x,y都是整数],使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在。依据数论中的相关定理)。

扩展欧几里德经常使用在求解模线性方程及方程组中。                                                                                                                                                                                                                      ——百度百科

用到的几个欧几里得重要结论:

1)            gcd(a,b) =  gcd(b,a %b);

2)            gcd(a,0) =  a.

代码:

typedef __int64 ll;
void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll &y)
{
    if(!b)
    {
        d = a, x = 1, y = 0;
    }
    else
    {
        exgcd(b, a % b, d, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}


分析:

设例如以下两个方程:

ax+by  =  gcd(a,b)  =  d。

bx’+(a%b)y’  =  gcd(b,a%b);

那么由重要结论(1)有gcd(a,b)  =  gcd(b,a %b),

那么ax+by  =  bx’+(a%b)y’  =  bx’ +(a – [a/b]*b)y’  =  ay’ + b(x’ – [a/b]y’),

恒等关系有 x = y’ , y = (x’ – [a/b]y’),[a/b]表示a/b的值向下取整。

........

那么如今就能够用exgcd(a,b,d,x,y)表示方程ax+by = d,那么由上面一直递归下去,直到 b = 0。递归结束。此时  d = gcd(a,0) =a , x = 1,y =0;【由于 ax+0*y = gcd(a,0)嘛~】

拓展欧几里得的几个应用

求解不定方程

比如:求解不定整数方程ax+by = c

求ax+by = c。 令d =gcd(a,b);

那么(a / d ) * x + (b / d )* y = c / d

由于(a / d )、(b / d ) 、x、y都是整数,那么保证原不定整数方程ax+by = c有解的充要条件就是c / d为整数,即cgcd(a,b)的倍数。

假设有解。那么令 K = c/d;

那么。对方程aX+bY = d;如果有拓展欧几里得求出一组解为(X0,Y0)。那么aX0+bY0 = d;等式两边同一时候乘以K,即K*( aX0+bY0 ) = d*K = c。由恒等关系。原方程的解(x0。y0):

 X0 = KX0 = c/d * X0y0 = KY0 = c/d *Y0

不定方程的通解

       若(x0,y0)是不定整数方程ax+by = c的一组解,则他的随意整数解都能够表示成(x0+ kb’, y0-ka’),当中a’ = a/gcd(a,b), b’ = b/gcd(a,b).

例题:

POJ  1061青蛙的约会  链接:    http://poj.org/problem?id=1061

求解模线性方程

方法跟上面类似。将同余方程转化为常规线性方程就能够了,跟上面一样,谈到同余方程的一个解时,事实上指的是一个同余等价类....

详细内容待补充...

求模的逆元

待补充…

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