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POJ3352 Road Construction
Road Construction
来自这里。
双连通分量
题意：比较裸的题意，就是给一个无向图，问添加多少条边后能使整个图变成双连通分量
分析：建议先学了双连通分量的相关知识，因为这题是算是个模板题（我自己写了模板，过了这题，但是还没有充分测试），如果没学好相关知识即便这个模板题也不好懂
双连通分量分为【点双连通分量，边双连通分量】，这题是个边双连通分量，就是要求出整个图的边双连通分量，然后缩点，然后找出缩点后每个点的度，度为1的点其实是树叶，答案就是(leaf+1)/2去上整，为什么是这个答案，网上的解释是，每次找到两个叶子他们的最近公共祖先最远，然后给这两个叶子连一条边，然后依次找出这样的点，所以是(leaf+1)/2
现在为问题就是1.怎么缩点。2.怎么统计缩点后的度
//////////// 注意一点 ///////////////////
这题的题意是保证了图是连通的，所以才有上面的计算公式，所以只要dfs一次，如果图不连通，可能要dfs多次，并且不是上面的计算公式(leaf+1)/2
两种做法：
1.简化tarjan，在边双连通分量中，每个点low[u]其实已经记录是这个点u是属于哪个边双连通分量了，low[u] = low[v] ，那么点u和点v在一个边双连通分量中，所以我们可以不用急着找什么连通分量，我们先运行一次dfs，把那个顶点的low都计算出来，然后我们查看原图的每一条边（u，v），看看原图的两个点u，v是不是属于不同的连通分量，是的话，缩点后它们之间就有一条边，那么就要统计它们的度。统计完后就可以知道哪些是叶子了
2.上面的做法，是在dfs后再处理边双连通分量的，可以一边dfs，一边就找到边双连通分量呢？是可以，这个方法才是要讲的重点
首先有几个知识点
先搞清楚，树边，后向边，前向边，横叉边是什么，维基百科有讲解
对原图缩点后，变成了一棵无根树，树的边是什么?其实就是原图的桥，所以，我们可以在dfs过程中把所有的桥保存下来，放在一个表中，然后dfs完后，直接去查看那个表，桥的两端是两个点，这两个点是一个属于两个不同的边双连通分量的，所以我们可以直接统计这些缩点的度
判断桥的条件比较简单，对于一条树边（注意是树边），在dfs过程中是从u到v的（可以看做u是v的父亲），且满足low[v] > dfn[u] ， 那么无向边(u,v)就是桥，就可以把这条边保存在表中
另外在这个dfs中借助了栈（方法1可以用栈，也可以不用，因为方法1简化了tarjan），在dfs过程中访问了点就不断入栈。在找到一条桥后，就准备将一些点出栈，因为这些准备出栈的点都是属于一个边双连通分量的，出栈的终于条件是，点v最后出来，点u不能出，注意，点u不能，点u不是属于点v的那个连通分量的，因为桥（u，v）分开了他们
方法1：简化了tarjan的过程，注意vis的意思，其实它的作用代替了栈的作用，vis[i]=0,1,2分别表示还没访问，已经访问但是还没退出，访问完并退出，它表示的是一种时间上的顺序
这个代码跑得快，0ms
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 #define N 1010 6 #define M 1010 7 #define INF 0x3f3f3f3f 8 9 int n,tot; 10 int head[N]; 11 struct edge 12 { 13 int u,v,next; 14 }e[2*M]; 15 int dfn[N],low[N],vis[N],dcnt,bcnt,de[N]; 16 17 inline int min(int x , int y) 18 { 19 return x<y ? x:y; 20 } 21 22 void add(int u ,int v ,int k) 23 { 24 e[k].u = u; e[k].v = v; 25 e[k].next = head[u]; head[u] = k++; 26 u = u^v; v = u^v; u = u^v; 27 e[k].u = u; e[k].v = v; 28 e[k].next = head[u]; head[u] = k++; 29 } 30 31 void dfs(int u ,int fa) 32 { 33 dfn[u] = low[u] = ++dcnt; 34 vis[u] = 1; 35 for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next) 36 { 37 int v = e[k].v; 38 if(v == fa) continue; 39 if(!vis[v]) //树边 40 { 41 dfs(v,u); 42 low[u] = min(low[u] , low[v]); 43 } 44 else if(vis[v] == 1) //后向边 45 low[u] = min(low[u] , dfn[v]); 46 //如果是横叉边为vis[v] == 2 , 跳过 47 } 48 vis[u] = 2; 49 } 50 51 void solve() 52 { 53 memset(dfn,0,sizeof(dfn)); 54 memset(de,0,sizeof(de)); 55 memset(vis,0,sizeof(vis)); 56 dcnt = bcnt = 0; 57 for(int i=1; i<=n; i++) 58 if(!vis[i]) 59 dfs(i,i); 60 for(int u=1; u<=n; u++) 61 for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next) 62 { 63 int v = e[k].v; 64 if(low[u] != low[v]) //属于不同的边连通分量 65 de[low[u]]++; 66 } 67 int leaf = 0; 68 for(int i=1; i<=n; i++) 69 if(de[i] == 1) 70 leaf++; 71 cout << (leaf+1)/2 << endl; 72 } 73 74 int main() 75 { 76 while(cin>> n >> tot) 77 { 78 int u,v,k = 0; 79 memset(head,-1,sizeof(head)); 80 for(int i=0; i<tot; i++,k+=2) 81 { 82 cin >> u >> v; 83 add(u,v,k); 84 } 85 solve(); 86 } 87 return 0; 88 }
方法2：这个代码慢啊，150ms，而且不知道模板还有没有其他的问题，至少是还没能处理重边
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 #define N 1010 6 #define M 1010 7 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) 8 9 int n,tot; 10 int head[N],dfn[N],low[N],belong[N],de[N],stack[N],bridge[M][2],ins[N],dcnt,bcnt,top,bnum; 11 struct edge 12 { 13 int u,v,next; 14 }e[2*M]; 15 16 void add(int u ,int v ,int k) 17 { 18 e[k].u = u; e[k].v = v; e[k].next = head[u]; head[u] = k++; 19 u = u^v; v = u^v; u = u^v; 20 e[k].u = u; e[k].v = v; e[k].next = head[u]; head[u] = k++; 21 } 22 23 void dfs(int u ,int fa) 24 { 25 dfn[u] = low[u] = ++dcnt; 26 stack[++top] = u; ins[u] = 1; 27 for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next) 28 { 29 int v = e[k].v; 30 if(v == fa) continue; 31 if(!dfn[v]) //树边 32 { 33 dfs(v,u); 34 low[u] = min(low[u] , low[v]); 35 if(low[v] > dfn[u]) //边(u,v)为桥，可以统计一个边连通分支 36 { 37 //保存桥 38 bridge[bnum][0] = u; 39 bridge[bnum++][1] = v; 40 41 ++bcnt; 42 while(true) 43 { 44 int x = stack[top--]; 45 ins[x] = 0; 46 belong[x] = bcnt; 47 if(x == v) break; 48 }//注意点u并没有出栈，因为点u属于另一个边连通分量 49 } 50 } 51 else if(ins[v]) //后向边 52 low[u] = min(low[u] , dfn[v]); 53 //横叉边为（dfn[v] && !ins[v]），跳过 54 } 55 } 56 57 void solve() 58 { 59 memset(dfn,0,sizeof(dfn)); 60 memset(de,0,sizeof(de)); 61 memset(ins,0,sizeof(ins)); 62 dcnt = bcnt = top = bnum = 0; 63 dfs(1,-1); 64 if(top) 65 { 66 ++bcnt; 67 while(true) 68 { 69 int x = stack[top--]; 70 ins[x] = 0; 71 belong[x] = bcnt; 72 if(x == 1) break; 73 } 74 } 75 76 for(int i=0; i<bnum; i++) //取出所有的桥 77 { 78 int u = bridge[i][0]; 79 int v = bridge[i][1]; 80 de[belong[u]]++; 81 de[belong[v]]++; 82 //统计缩点后的的度 83 } 84 int leaf = 0; 85 for(int i=1; i<=bcnt; i++) 86 if(de[i] == 1) 87 leaf++; 88 cout << (leaf+1)/2 << endl; 89 90 //可以把下面的注释去掉，看看记录的内容，帮组理解 91 /* 92 for(int u=1; u<=n; u++) 93 cout << u << "[" << belong[u] << "]" << endl; 94 for(int i=1; i<=bcnt; i++) 95 cout << "[" << de[i] << "]" << endl; 96 for(int i=0; i<bnum; i++) 97 { 98 int u = bridge[i][0], v = bridge[i][1]; 99 printf("桥： %d %d\n",u,v); 100 printf("缩点后的边: %d %d\n",belong[u] , belong[v]); 101 } 102 */ 103 } 104 105 int main() 106 { 107 while(cin >> n >> tot) 108 { 109 memset(head,-1,sizeof(head)); 110 int u,v,k=0; 111 for(int i=0; i<tot; i++,k+=2) 112 { 113 cin >> u >> v; 114 add(u,v,k); 115 } 116 solve(); 117 } 118 return 0; 119 }
POJ3352 Road Construction