5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

答：由公式

计算：

定义随机变量X（a_i）=i。由概率模型我们知道： F_x(1)=0.2, F_x(2)=0.5, F_x(3)=1。

根据上面公式，我们将u⁽⁰⁾和l⁽⁰⁾初始化。

u⁽⁰⁾=1

l⁽⁰⁾=0

给定符号序列第一个元素为a₁，更新为：

l⁽¹⁾ =0+(1-0)F_x(0)=0

u⁽¹⁾ =0+(1-0)F_x(1)=0.2

给定符号序列第二个元素为a₁，利用更新公式更新为：

l⁽²⁾ =0+(0.2-0)F_x(0)=0

u⁽²⁾ =0+(0.2-0)F_x(1)=0.04

给定符号序列第三个元素为a₃，利用更新公式更新为：

l⁽³⁾ =0+(0.04-0)F_x(2)=0.02

u⁽³⁾ =0+(0.04-0)F_x(3)=0.04

给定符号序列第四个元素为a₂，利用更新公式更新为：

l⁽⁴⁾ =0.02+(0.04-0.02)F_x(1)=0.024

u⁽⁴⁾ =0.02+(0.04-0.02)F_x(2)=0.03

给定符号序列第五个元素为a₃，利用更新公式更新为：

l⁽⁵⁾ =0.024+(0.03-0.024)F_x(2)=0.027

u⁽⁵⁾ =0.024+(0.03-0.024)F_x(3)=0.03

给定符号序列第六个元素为a₁，利用更新公式更新为：

l⁽⁶⁾ =0.027+(0.03-0.027)F_x(0)=0.027

u⁽⁶⁾ =0.027+(0.03-0.027)F_x(1)=0.0276

可以生成序列标签公式：

所求序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁的标签如下：

T_x(a₁a₁a₃a₂a₃a₁)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

6.对于表4-9给出的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

 答：

由题可知：T_x=0.63215699，F_x(k≤0)=0,  F_x(1)=0.2, F_x(2)=0.5, F_x(3)=1, k>3.

  给定   l⁽⁰⁾=0，u⁽⁰⁾=1

公式：

         t^*=(tag-l^(k-1))/(u^(k-1) -l^(k-1))

首先带入计算：

  t^*=(0.63215699-0)/(1-0)=0.63215699

  F_x(2)<= t^*<= F_x(3)

        由上计算推出第一个序列为3

 l⁽¹⁾ =l⁽⁰⁾ +(u⁽⁰⁾ -l⁽⁰⁾ )F_x(2)=0+(1-0)*0.5=0.5

u⁽¹⁾ =l⁽⁰⁾ +(u⁽⁰⁾ -l⁽⁰⁾ )F_x(3)=0+(1-0)*1=1

    如此类推

     t^*=(0.63215699-0.5)/(1-0.5)=0.26431398

     F_x(1)<= t^*<= F_x(2)

   由上计算推出第二个序列为2

  l⁽²⁾ =l⁽¹⁾ +(u⁽¹⁾ -l⁽¹⁾ )F_x(1)=0.5+(1-0.5)*0.2=0.6

  u⁽²⁾ =l⁽¹⁾ +(u⁽¹⁾ -l⁽¹⁾ )F_x(2)=0.5+(1-0.5)*0.5=0.75

       如此类推

  t^*=(0.63215699-0.6)/(0.75-0.6)=0.21437993

     F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

     由上计算推出第三个序列为2

 l⁽³⁾ =l⁽²⁾ +(u⁽²⁾ -l⁽²⁾ )F_x(1)=0.6+(0.75-0.6)*0.2=0.630

u⁽³⁾ =l⁽²⁾ +(u⁽²⁾ -l⁽²⁾ )F_x(2)=0.6+(0.75-0.6)*0.5=0.675

       如此类推

  t^*=(0.63215699-0.63)/(0.635-0.63)=0.431398

 F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

由上计算推出第四个序列为2

        l⁽⁴⁾= l⁽³⁾+( u⁽³⁾- l⁽³⁾) F_x(1)=0.630

       u⁽⁴⁾= l⁽³⁾+( u⁽³⁾- l⁽³⁾) F_x（2)=0.639

           如此类推

        t^*=(0.63215699-0.631)/(0.6325-0.631)=0.77132667

         F_x(2)=0.5<= t^*<= F_x(3)=1

       由上计算推出第五个序列为3

         l⁽⁵⁾= l⁽⁴⁾+( u⁽⁴⁾- l⁽⁴⁾) F_x(2)=0.6318

        u⁽⁵⁾= l⁽⁴⁾+( u⁽⁴⁾- l⁽⁴⁾) F_x(5)=0.6345

        如此类推

         t^*=(0.63215699-0.63175)/(0.6325-0.63175)=0.5426533

         F_x(2)=0.5<= t^*<= F_x(3)=1

          由上计算推出第六个序列为3

      l⁽⁶⁾= l⁽⁵⁾+( u⁽⁵⁾- l⁽⁵⁾) F_x(2)=0.632125

       u⁽⁶⁾= l⁽⁵⁾+( u⁽⁵⁾- l⁽⁵⁾) F_x(3)=0.6325

             如此类推

           t^*=(0.63215699-0.632125)/(0.6325-0.632125)=0.04265333

           F_x(k)=0<= t^*<= F_x(1)=0.2

           由上计算推出第七个序列为1

            l⁽⁷⁾= l⁽⁶⁾+( u⁽⁶⁾- l⁽⁶⁾) F_x(0)=0.632125

           u⁽⁷⁾= l⁽⁶⁾+( u⁽⁶⁾- l⁽⁶⁾) F_x(1)=0.632275

             如此类推

            t^*=(0.63215699-0. 632125)/(0. 632125-0. 632275)=0.21326667

            F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

            由上计算推出第八个序列为2

             l⁽⁸⁾= l⁽⁷⁾+( u⁽⁷⁾- l⁽⁷⁾) F_x(1)=0.632155

            u⁽⁸⁾= l⁽⁷⁾+( u⁽⁷⁾- l⁽⁷⁾) F_x(5)=0.6322

            如此类推

            t^*=(0.63215699-0.632155)/(0.6322-0. 632155)=0.04422222

            F_x(0)=0<= t^*<= F_x(1)=0.2

            由上计算推出第九个序列为1

             l⁽⁹⁾= l⁽⁸⁾+( u⁽⁸⁾- l⁽⁸⁾) F_x(0)=0.632155

            u⁽⁹⁾= l⁽⁸⁾+( u⁽⁸⁾- l⁽⁸⁾) F_x(1)=0.632164

               如此类推

           t^*=(0.63215699-0.632155)/(0.632164-0.632155)=0.22111111

           F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

           由上计算推出第十个序列为2

          综上所述，标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码为：3222331212

第四次作业