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[BZOJ2173]整数的lqp拆分

2024-07-12 15:12:49   220人阅读

【问题描述】
　　lqp在为出题而烦恼，他完全没有头绪，好烦啊…
　　他首先想到了整数拆分。整数拆分是个很有趣的问题。给你一个正整数N，对于N的一个整数拆分就是满足任意m>0，a1 ,a2 ,a3…am>0，且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合。通过长时间的研究我们发现了计算对于N的整数拆分的总数有一个很简单的递推式，但是因为这个递推式实在太简单了，如果出这样的题目，大家会对比赛毫无兴趣的。
　　然后lqp又想到了斐波那契数。定义F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2 (n>1)，Fn就是斐波那契数的第n项。但是求出第n项斐波那契数似乎也不怎么困难…
　　lqp为了增加选手们比赛的欲望，于是绞尽脑汁，想出了一个有趣的整数拆分，我们暂且叫它：整数的lqp拆分。和一般的整数拆分一样，整数的lqp拆分是满足任意m>0，a1 ,a2 ,a3…am>0，且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合。但是整数的lqp拆分要求的不是拆分总数，相对更加困难一些。对于每个拆分，lqp定义这个拆分的权值Fa1Fa2…Fam，他想知道对于所有的拆分，他们的权值之和是多少？简单来说，就是求


　　由于这个数会十分大，lqp稍稍简化了一下题目，只要输出对于N的整数lqp拆分的权值和mod 109+7输出即可。
【输入格式】
　　输入的第一行包含一个整数N。
【输出格式】
　　输出一个整数，为对于N的整数lqp拆分的权值和mod 109+7。
【样例输入】
3
【样例输出】
5
【样例说明】
　　F0=0，F1=1，F2=1，F3=2。
　　对于N=3，有这样几种lqp拆分：
　　3=1+1+1, 权值是1*1*1=1。
　　3=1+2，权值是1*2=2。
　　3=2+1，权值是2*1=2。
　　所以答案是1*1*1+1*2+2*1=5。
【数据说明】
　　20%数据满足：1≤N≤25
　　50%数据满足：1≤N≤1000
　　100%数据满足：1≤N≤1000000
【试题来源】
　　2011中国国家集训队命题答辩
 
Solution
　　hta:当年LQP在集训队作业中给出了O(NlogN)的算法，需要用到生成函数并且推导较为复杂。有兴趣的同学可以参考LQP2011年的作业。
　　其实打表找规律才是正解= =
　　G[n]=2G[n-1]+G[n-2],G[0]=0,G[1]=1
　　连矩阵快速幂都不要多良心~
　　
　　暴力显然有G[n]=ΣG[i]*F[n-i]+F[n],O(n^2)
　　
　　《论出题人犯逗的危害》233
 
1 #include<cstdio>2 int n;long long mod=1e9+7,g[1000010];3 int main()4 {5     scanf("%d",&n);g[1]=1;6     for(int i=2;i<=n;i++)g[i]=(2*g[i-1]+g[i-2])%mod;7     printf("%lld\n",g[n]);8 }
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