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最长递增子序列和网易去除最少使从左向右递增又递减问题
（1）最长递增子序列问题
有两种方法：（1）动态规划方法（2）类似二分查找的方法O（nlogn）
动态规划方法：
以i结尾的序列的最长递增子序列和其[0, i - 1]“前缀”的最长递增子序列有关，设LIS[i]保存以i结尾的最长递增子序列的长度：
若i = 0，则LIS[i] = 1；
若i > 0，则LIS[i]的值和其[0, i - 1]前缀的最长递增子序列长度有关，用j遍历[0, i - 1]得到其最长递增子序列为LIS[j]，对每一个LIS[j]，如果序列array[j] < array[i]并且LIS[j] + 1 > LIS[i]，则LIS[i]的值变成LIS[j] + 1。即：
LIS[i] = max{1, LIS[j] + 1}，其中array[i] > array[j] 且 j = [0, i - 1]。
代码如下：
。。。。。晚上补充上
（2）采用类似二分查找方法
假设存在一个序列d[1...9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出它的LIS长度是5。
下面一步一步试着找到它。
我们定义一个序列B，然后令i = 1 to 9逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量len来记录现在的最长算到多少。
首先，把d[1]有序的放到B中，令B[1] = 2，就是说当只有一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2，这时len = 1；
然后，把d[2]有序的放到B中，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1] = 2已经没用了，很容易理解吧，这时len = 1；
接着，d[3] = 5，d[3] > B[1]，所以令B[1 + 1] = B[2] = d[3] = 5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧，这时B[1...2] = 1, 5，len = 2；
再来，d[4] = 3，它正好在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时B[1...2] = 1,3，len = 2；
继续，d[5] = 6，它在3的后面，因为B[2] = 3，而6在3后面，于是很容易推知B[3] = 6，这时B[1...3] = 1,3,6，还是很容易理解吧？这时len = 3；
第6个，d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1...3] = 1,3,4，这时len = 3；
第7个，d[7] = 8，它很大，比4大，于是B[4] = 8，这时len = 4；
第8个，d[8] = 9，得到B[5] = 9，len继续增大，这时len = 5；
最后一个，d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] = 7, B[1...5] = 1,3,4,7,9，len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
注意，注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储了对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这个数组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字8和9，那么就可以把8更新到d[5]，9更新到d[6]，得到LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且进行替换而不需要移动——也就是说，可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logn)，于是算法的时间复杂度就降低到了O(nlogn)了。
代码如下：
1 int findlis(int *A,int n,int *lefttoright) //从左向右最长递增子序列 2 { 3 if(A==NULL||n<0) 4 return -1; 5 int *lis=new int[n]; 6 //int *lefttoright=new int[n]; 7 lefttoright[0]=1; //lefttoright[i]保存从左到右，以i为终点的最长递增子序列长度，注意已经是正常的长度了，不是小一了 8 int max=0; //max是lis[]的最大下标如lis[]={1,2,4}时,max=2; 9 lis[0]=A[0];10 for(int i=1;i<n;i++)11 {12 int left=0;13 int right=max;14 while(left<=right) //这个二分查找就是最终left落到指定位置例如lis[]={1,2,4},若A[i]=5，left=3（从0开始），则更新为lis[]={1,2,4,5}；lis[]={1,2,4},若A[i]=3，left=2,则更新为lis[]={1,2,3}；15 {16 int mid=(left+right)/2;17 if(A[i]>lis[mid])18 left=mid+1;19 else20 right=mid-1;21 }22 lis[left]=A[i];23 lefttoright[i]=left+1; //lefttoright[i]等于left加一，同返回时是max+1同样道理24 if(left>max) //如果left>max，则让max=left25 max++;26 }27 delete lis;28 return max+1; //注意，必须返回max+1，才是最终结果max是最长递增子序列长度减一29 }
下面就开始实现“从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的“这个问题。
双端LIS问题，用动态规划的思想可以解决，目标规划函数为max{B[i] + C[i] - 1}，其中B[i]是从左到右的，0~i个数之间满足递增的数字个数；C[i]为从右到左的，n- 1 ~ i个数之间满足递增的数字个数。最后结果为n - max + 1，其中动态规划的时候，可以用二分查找进行处理，如上述求最长递增子序列的方法二。
代码如下：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 //最长递增子序列的O（nlogn）方法 5 //lis[i]表示最长递增子序列的长度的i+1的最小的最后一个元素 6 7 int findlis(int *A,int n,int *lefttoright) //从左向右最长递增子序列 8 { 9 if(A==NULL||n<0)10 return -1;11 int *lis=new int[n];12 //int *lefttoright=new int[n];13 lefttoright[0]=1; //lefttoright[i]保存从左到右，以i为终点的最长递增子序列长度，注意已经是正常的长度了，不是小一了14 int max=0; //max是lis[]的最大下标如lis[]={1,2,4}时,max=2;15 lis[0]=A[0];16 for(int i=1;i<n;i++)17 {18 int left=0;19 int right=max;20 while(left<=right) //这个二分查找就是最终left落到指定位置例如lis[]={1,2,4},若A[i]=5，left=3（从0开始），则更新为lis[]={1,2,4,5}；lis[]={1,2,4},若A[i]=3，left=2,则更新为lis[]={1,2,3}；21 {22 int mid=(left+right)/2;23 if(A[i]>lis[mid])24 left=mid+1;25 else26 right=mid-1;27 }28 lis[left]=A[i];29 lefttoright[i]=left+1; //lefttoright[i]等于left加一，同返回时是max+1同样道理30 if(left>max) //如果left>max，则让max=left31 max++;32 }33 delete lis;34 return max+1; //注意，必须返回max+1，才是最终结果max是最长递增子序列长度减一35 }36 37 int findrighttoleftincrease(int *A,int n,int * righttoleft) //从右向左最长递增子序列，也可以说成是从左向右最长递减子序列38 {39 if(A==NULL||n<0)40 return -1;41 int *lis=new int[n];42 //int *righttoleft=new int[n];43 lis[0]=A[n-1]; //lis[0]=为A【n-1]44 righttoleft[n-1]=1; //注意是lefttoright[n-1]=145 int max=0;46 int left,right;47 for(int i=n-2;i>=0;i--)48 {49 left=0;50 right=max;51 while(left<=right)52 {53 int mid=(left+right)/2;54 if(A[i]>lis[mid])55 left=mid+1;56 else57 right=mid-1;58 }59 lis[left]=A[i];60 righttoleft[i]=left+1;61 if(left>max) //其实这时，max++后，max==left62 max++;63 }64 delete lis;65 return max++;66 }67 68 69 int main()70 {71 //网易的去掉最少元素使得从左向右递增然后递减，即为从左向右递增然后递减的最大值72 //Big=max（lefttoright[i]+righttoleft[i]-1}73 //所求即为n-Big。74 int A[]={2,3,5,1,6,9,10,15,1};75 int *lefttoright=new int[9];76 int *righttoleft=new int[9];77 int maxleft=findlis(A,9,lefttoright);78 if(maxleft==-1)79 cout<<"wrong"<<endl;80 else81 cout<<"max num lefttoright= "<<maxleft<<endl;82 int maxright=findrighttoleftincrease(A,9,righttoleft);83 if(maxright==-1)84 cout<<"wrong"<<endl;85 else86 cout<<"max num righttoleft= "<<maxright<<endl;87 int max=0;88 for(int i=0;i<9;i++)89 {90 if(lefttoright[i]+righttoleft[i]-1>max)91 max=lefttoright[i]+righttoleft[i]-1;92 }93 cout<<"去除"<<9-max<<endl;94 delete lefttoright;95 delete righttoleft;96 system("pause");97 }
完。