P1问题求解相关算法

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2024-08-20 19:01:34 218人阅读

P1问题求解相关算法

1. BP

利用matlab的线性规划工具箱，即linprog

主要思想：如何将P1问题转换为线性规划问题

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即由3.1变为3.2

令x=[u; v]，其中u,v均为正，a=u-v

A=[phi,-phi] （显示不了符号，读出来就好。。。）

b=s

则b=Ax=(u-v)=a=s

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求解：x0=linprog(c,[],[],A,b,zeros(2*p,1));

问题P1的最优解即为x0(1:p)-x0(p+1:2p)

注：这里要去掉绝对值，证明如下：

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2. BPDN 基追踪去噪

利用quadprog

x0=quadprog(B,c,[],[],[],[],zeros(2*m,1));

x0=x0(1:m)-x0(m+1:2*m);

和BP思想一样，将P1问题转换为二次规划问题，

令x=u-v

不一样的地方是，BPDN允许噪声的存在，可以参考IRLS-noNoise和IRLS的区别。

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n=20;m=30;
A=randn(n,m);
W=sqrt(diag(A‘*A));
for k=1:1:m
    A(:,k)=A(:,k)/W(k);
end
S=5;
x=zeros(m,1);
pos=randperm(m);
x(pos(1:S))=sign(randn(S,1)).*(1+rand(S,1));  %x的稀疏度为S，即稀疏度逐渐增加到Smax
b=A*x;
lamda=0.0001*2.^(0:0.75:15);
for i=1:1:21
    %{
%BP
    bb=A‘*b;
    c=lamda(i)*ones(2*m,1)+[-bb;bb];
    B=[A‘*A, -A‘*A;-A‘*A, A‘*A];
    x0=quadprog(B,c,[],[],[],[],zeros(2*m,1));
    x0=x0(1:m)-x0(m+1:2*m);
    %}
%BPDN
    bb=A‘*b;
    c=lamda(i)*ones(2*m,1)+[-bb;bb];%注意lamda取值，这里取为0.05
    B=[A‘*A, -A‘*A;-A‘*A, A‘*A];
    x0=quadprog(B,c,[],[],[],[],zeros(2*m,1));
    x0=x0(1:m)-x0(m+1:2*m);
    err(i)=(x0-x)‘*(x0-x)/(x‘*x);
end
h=semilogx(lambda,err,‘k--‘);
set(h,‘LineWidth‘,2);

3.IRLS 迭代重加权最小二乘

将l0松弛到l1，得到P1，即BPDN（基追踪降噪 basis pursuit denoising），将P1写成标准的优化问题即Q1，添加拉格朗日乘子。

一般定义Q1为套锁回归（LASSO）

主要思想：为方便对问题Q1求导，

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输入A、x、b、

问题M的最小二乘求解：

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xout=inv(2*lambda(ll)*XX+AA)*Ab;

对角加权矩阵X的更新，XX为X的逆：

XX=diag(1./(abs(xout)+1e-10));

当||小于预设阈值时停止迭代

输出问题Q1的近似解

n=100; m=200; S=4; sigma=0.1;

A=randn(n,m);
W=sqrt(diag(A‘*A));
for k=1:1:m,
    A(:,k)=A(:,k)/W(k);
end;

x0=zeros(m,1);
pos=randperm(m);
x0(pos(1:S))=sign(randn(S,1)).*(1+rand(S,1));
b=A*x0+randn(n,1)*sigma;

% The IRLS algorithm for varying lambda
Xsol=zeros(m,101);
Err=zeros(101,1);
Res=zeros(101,1);
lambda=0.0001*2.^(0:0.15:15);
AA=A‘*A;
Ab=A‘*b;
for ll=1:1:101
    xout=zeros(m,1);
    XX=eye(m);%单位对角矩阵
    for k=1:1:15
        xout=inv(2*lambda(ll)*XX+AA)*Ab;
        XX=diag(1./(abs(xout)+1e-10));
        % disp(norm(xout-x0)/norm(x0));
    end;
    Xsol(:,ll)=xout; 
    Err(ll)=(xout-x0)‘*(xout-x0)/(x0‘*x0);%误差
    Res(ll)=(A*xout-b)‘*(A*xout-b)/sigma^2/n; %残差
end;

如何选择拉格朗日乘子？

经验法则：选择接近噪声偏差值和期望非零值的标准差的比值

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注：残差和噪声功率相等时取得最优

确定最优方法：根据经验法则确定大致值lambda=0.0001*2.^(0:0.15:15);

对进行验算，最小误差对应的即最优

posL=find(Err==min(Err),1);

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注：BPDN执行较IRLS慢

4. LARS(least angle regression stagewise)最小角度回归分布

这个要多写点~

forward selection 和OMP的思想比较接近

forward stagewise感觉就是更加平滑，因为步长更小

LAR取的步长是两者之间，即最小角度回归。

结合两者的思想即为LARS。

主要思想：

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为稀疏（回归）系数列向量，为估计向量

首先取，即

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c正比于X和当前残差向量的相关度（怪怪的。。）

取|cj|最大的方向

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算法步骤：

求j，并不断更新A=[A,j];

为方便理解，可引入XA
计算 gamma

联立15.16两式：

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3.更新mu

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4.求bita

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n=100; m=200; S=4; sigma=0.1;

A=randn(n,m);
W=sqrt(diag(A‘*A));
for k=1:1:m,
    A(:,k)=A(:,k)/W(k);
end;

x0=zeros(m,1);
pos=randperm(m);
x0(pos(1:S))=sign(randn(S,1)).*(1+rand(S,1));
b=A*x0+randn(n,1)*sigma;

Err=zeros(n,1);
Res=zeros(n,1);
XsolLARS=lars(A,b);%求稀疏向量
for k=1:1:n
    xout=XsolLARS(k,:)‘;
    ErrLARS(k)=(xout-x0)‘*(xout-x0)/(x0‘*x0);
end;

function beta = lars( X,y )
%求稀疏向量
[n,m]=size(X);
nvars=min(n-1,m);%%???
mu=zeros(n,1);
beta = zeros(2*nvars, m);
I=1:m;
A=[];k=0;vars=0;
gram=X‘*X;
while vars<nvars
    k=k+1;
    c=X‘*(y-mu);
    [C,j]=max(abs(c(I)));%c(I) 即不包含之前取过的j
    j=I(j);
    A=[A j];
    vars=vars+1;
    I(I==j)=[];%这里不是置零，而是直接去掉j
    s=sign(c(A));
    G=s‘*inv(gram(A,A))*s;
    AA=G^(-1/2);
    WA=AA*inv(gram(A,A))*s;
    u=X(:,A)*WA;
    if vars==nvars
        gamma=C/AA;
    else
        a=X‘*u;
        temp=[(C-c(I))./(AA-a(I));(C+c(I))./(AA+a(I))];%减去c、a中不属于A的j列向量，从而得到gamma
        gamma=min([temp(temp>0);C/AA]);
    end
    mu=mu+gamma*u;
    beta(k+1,A) = beta(k,A) + gamma*WA‘;
end
if size(beta,1) > k+1
  beta(k+2:end, :) = [];%只取nvars个，beta即为稀疏向量
end
end

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