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最小生成树 Kruskal算法
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了下图
在剩下的图中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v‘，把原来接在u和v的边都接到v‘上去，这样就能够得到一个k阶图G‘(u,v的合并是k+1少一条边)，G‘最小生成树T‘可以用Kruskal算法得到。
我们证明T‘+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T‘+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T‘+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G‘的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T‘)，也就是W(T)<=W(T‘)+W(<u,v>)=W(T‘+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T‘+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
1 typedef struct
2 {
3 char vertex[VertexNum]; //顶点表
4 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
5 int n,e; //图中当前的顶点数和边数
6 }MGraph;
7
8 typedef struct node
9 {
10 int u; //边的起始顶点
11 int v; //边的终止顶点
12 int w; //边的权值
13 }Edge;
14
15 void kruskal(MGraph G)
16 {
17 int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;
18 int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通
19 Edge E[EdgeNum]; //存放所有的边
20 k=0; //E数组的下标从0开始
21 for (i=0;i<G.n;i++)
22 {
23 for (j=0;j<G.n;j++)
24 {
25 if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
26 {
27 E[k].u=i;
28 E[k].v=j;
29 E[k].w=G.edges[i][j];
30 k++;
31 }
32 }
33 }
34 heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列
35 for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组
36 {
37 vset[i]=i;
38 }
39 k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数
40 j=0; //E中的下标
41 while (k<G.n)
42 {
43 sn1=vset[E[j].u];
44 sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号
45 if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树
46 {
47 printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
48 k++;
49 for (i=0;i<G.n;i++)
50 {
51 if (vset[i]==sn2)
52 {
53 vset[i]=sn1;
54 }
55 }
56 }
57 j++;
58 }
59 } 转：http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html