上回说到有理数不足以描述自然界的规律, 例如单位正方形的对角线无法用有理数去度量, 这一回就来好好说说如何构造更广类型的数. 一般来说有好几种办法可以构造, 例如Dedekind切割或者无限小数. 这里我们采用Cantor的基本列法.

(定义1) 设 $(x_n)_{n\geq1}$ 是一个有理数列, 如果对任何正有理数 $\varepsilon$ 都存在 $N\geq1$ 使得当 $m,n\geq N$ 时就有
$$|x_n-x_m|<\varepsilon,$$
则称 $(x_n)_{n\geq1}$ 是一个基本序列或者Cauchy列.

(定义2) 设 $(x_n)_{n\geq1}$ 是一个有理数列, 如果存在 $x\in\mathbb{Q}$ 使得对任何正有理数 $\varepsilon$ 都存在 $N\geq1$ 使得当 $n\geq N$ 时就有
$$|x_n-x|<\varepsilon,$$
则称 $x$ 是 $(x_n)_{n\geq1}$ 的极限.

高等数学相对于初等数学, 一个强大的工具是基本序列的应用.

容易证明有极限的数列一定是基本数列, 但是反过来不对. 如果我们不扩充数的话, 很有可能一些基本序列没有极限, 先来看一个例子.

设 $x_1=2$,
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n+\frac{1}{x_n},\quad n\geq1.$$
则 $(x_n)_{n\geq1}$ 是基本数列, 事实上, 由基本不等式可知
$$x_{n}=\frac{1}{2}x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2};$$
$$x_{n+1}-x_n=-\frac{1}{2}x_n+\frac{1}{x_n}=\frac{2-x_n^2}{2x_n}\leq 0.$$
所以
$$x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}(x_n-x_{n-1})+\frac{x_{n-1}-x_n}{x_nx_{n-1}}.$$
\begin{align*}
|x_{n+1}-x_n|&=|x_n-x_{n-1}|\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{x_nx_{n-1}}\right)\\
&\leq\frac{1}{2}|x_n-x_{n-1}|\leq\cdots\\
&\leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}|x_2-x_1|=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
\end{align*}
所以对任何有理数 $\varepsilon>0$, 存在充分大的正整数 $N$ 使得
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{N-1}<\varepsilon.$$
当 $m> n\geq N$ 时,
$$|x_m-x_n|\leq\sum_{k=n}^{m-1}|x_{k+1}-x_k|\leq \sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{2^k}<\frac{1}{2^{n-1}}\leq \frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon.$$
所以 $(x_n)_{n\geq1}$ 是基本数列. 假设存在极限 $x\in\mathbb{Q}$, 则有
$$x=\frac{1}{2}x+\frac{1}{x}\Rightarrow x^2=2,$$
这与 $x$ 是有理数矛盾. 所以 $(x_n)_{n\geq1}$ 没有极限.

基本序列的意思就是任何给定 $\varepsilon>0$, 无论它多小, 只要 $n$ 足够大以后 $x_n$ 都拥挤在一个半径不超过 $\varepsilon$ 的区间内. 上述例子表明有理数列的基本列不一定有极限, 这就说明有理数中其实存在某种空隙, 那么怎么来填补这些空隙使得有极限呢? 一种想法就是把基本列本身当作一个对象来看待, 这样就有极限了. 这正是Cantor在1872年的思想. 具体操作如下:

我们记
$$R=\{(x_n)_{n\geq1}|x_n\in\mathbb{Q},(x_n)_{n\geq1}\text{是一个基本序列}.\}$$
我们在上面定义等价关系:
$$(x_n)_{n\geq1}\sim(y_n)_{n\geq1}\Longleftrightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}(x_n-y_n)=0.$$

再定义商集 $R/\sim$, 它的意思是把所有 $R$ 中等价的元素看成是一个元素, 把它称为是实数系, 或者说是实数系的一个实现, 以后就用 $\mathbb{R}$ 去记实数域, 其中的一个元素 (实际上是基本列的等价类) 就称为一个实数.

第二回. 实数系的构造