上回已经构造了实数系:
$$\mathbb{R}=R/\sim.$$
下面在 $\mathbb{R}$ 上定义一些运算使之构成一个域. $\mathbb{R}$ 中的元素由有理数基本列的等价类 $[(a_n)_{n\geq1}]$ 构成, 为了记号的方便, 我们今后就用$(a_n)$ 来表示.

仿照有理数域, 我们希望定义加减乘除. 其中加法和减法比较好定义:
$$(a_n)+(b_n):=(a_n+b_n).$$
$$(a_n)-(b_n):=(a_n-b_n).$$

为了严谨起见, 需说明这样的定义是合理的. 以加法为例, 首先容易知道 $(a_n+b_n)$ 一定是基本列, 这是因为
$$|(a_n+b_n)-(a_m+b_m)|\leq|a_n-a_m|+|b_n-b_m|,$$
而 $(a_n)$ 和 $(b_n)$ 分别是基本列, 从而 $(a_n+b_n)$ 也是基本列. 其次, 需要说明这样的定义不依赖于代表元的选取, 即若 $(a_n)\sim (c_n)$, $(b_n)\sim (d_n)$, 则
$$(c_n+d_n)\sim (a_n+b_n).$$

为了定义乘法, 我们首先给一个简单的引理.

(引理1) 若 $(a_n)$ 是基本列, 则 $(a_n)$ 有界, 即存在有理数 $M>0$ 使得
$$|a_n|\leq M,\quad \forall~n\geq1.$$

证明. 对于 $\varepsilon=1$, 存在 $N$ 使得 $n\geq N$ 时,
$$|a_n-a_N|\leq1,\quad\forall~n\geq N.$$
取
$$M=\max\{|a_1|,\cdots,|a_{N-1}|,|a_N|+1\}$$
即可.

定义乘法:
$$(a_n)\cdot(b_n):=(a_n\cdot b_n).$$

同样可以说明 $(a_nb_n)$ 是基本列, 那是因为
$$|a_mb_m-a_nb_n|\leq|a_m-a_n||b_m|+|b_m-b_n||a_n|\leq M(|a_m-a_n|+|b_m-b_n|).$$

在定义除法之前, 我们先在 $\mathbb{R}$ 中定义序:

(定义1) 设 $(a_n),(b_n)\in\mathbb{R}$. 如果存在有理数 $q$ 以及正整数 $N$ 使得当 $n\geq N$ 时
$$a_n>q>b_n.$$
则称 $(a_n)$ 大于 $(b_n)$, 记作
$$(a_n)>(b_n).$$

(三歧性定理) 对于 $(a_n),(b_n)\in\mathbb{R}$, 以下三者之一成立:

$$\mathrm{(1)}\quad(a_n)>(b_n),$$
$$\mathrm{(2)}\quad(a_n)<(b_n),$$
$$\mathrm{(3)}\quad(a_n)=(b_n).$$

证明. 假设(1)和(2)不成立, 我们来证明(3). 事实上, 对任何 $q>0$, 因为 $(a_n-b_n)$ 是基本列, 所以存在 $N$ 使得 $m,n\geq N$ 时,
$$|(a_n-b_n)-(a_m-b_m)|<\frac{q}{2}.$$
因为(1)和(2)不成立, 故一定存在 $k\geq N$ 及 $l\geq N$ 使得
$$a_k-b_k<\frac{q}{2},\quad a_l-b_l>-\frac{q}{2}.$$

所以当 $n\geq\max\{k,l\}$ 时,
$$-q<a_n-b_n<q.$$

所以
$$(a_n)=(b_n).$$

下面来定义除法. 设 $(b_n)\neq(0)$, 此时可假设存在 $q>0$ 使得
$$|b_n|\geq q>0.$$

定义
$$\frac{(a_n)}{(b_n)}:=\left(\frac{a_n}{b_n}\right).$$

容易说明 $\left(a_n/b_n\right)$ 是一个基本列, 那是因为
$$\left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a_m}{b_m}\right|\leq\frac{|a_nb_m-a_mb_n|}{|b_mb_n|}\leq\frac{M}{q^2}(|a_n-a_m|+|b_n-b_m|).$$

可以得到如下定理:

(定理2) $\mathbb{R}$ 是一个有序域.

容易知道, $\mathbb{Q}$ 也是一个有序域, 怎样把它看成 $\mathbb{R}$ 的子域呢? 这里就要用到同构的概念, 简单来说, 有序域的同构就是一个保持运算和序的双射.

(定义2) 设 $E$ 和 $F$ 是有序域, 且存在双射 $\varphi:E\rightarrow F$ 满足
$$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),$$
$$\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot\varphi(b),$$
$$a<b\Longleftrightarrow\varphi(a)<\varphi(b).$$
则称 $\varphi$ 是同构映射. 此时也称 $E$ 和 $F$ 是同构的.

所谓同构无非就是 $E$ 上的运算或者比较大小等价于 $F$ 上的运算或者比较大小, 从而可以认为 $E$ 和 $F$ 本质上是一个东西.

(定理3) $\mathbb{Q}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子域, 且同构映射可以这样定义:
$$\varphi(q)=[(q)_{n\geq1}].$$

由上述定理, $\mathbb{Q}$ 仅仅是 $\mathbb{R}$ 中恒取一个值的基本列等价类的全体, 从这个意义上讲, $\mathbb{R}$ 比 $\mathbb{Q}$ "大". $\mathbb{R}$ 是有理数的扩充版本, 以后我们就记某个 $r\in\mathbb{R}$, 认为 $r$ 也是一个数, 称为实数 (实际上是有理数基本列的等价类, 一个等价类就称为一个数). 第一回说到有理数不足以描述单位正方形的对角线, 那么实数是否就可以刻画单位正方形的对角线? 另外实数又有哪些好的性质呢? 且听下回分解.

第三回. 实数域