首页 > 代码库 > 求N!末尾的0的个数--找规律+递归
求N!末尾的0的个数--找规律+递归
0\‘s
Time Limit: 1000ms Memory limit: 65536K 有疑问?点这里^_^
题目描述
计算整数n!(n的阶乘)末尾有多少个0。
输入
第一行输入一个数T代表测试数据个数(T<=20)。接下来T行每行1个数代表n(0<=n< 2^31)。
输出
对于每个测试数据输n!末尾有多少个0,每行输出一个结果。
示例输入
3 1 5 10
示例输出
0 1 2
提示
中国海洋大学第三届“朗讯杯”编程比赛高级组试题
声明(摘抄至某前辈)---------------------
这里先给出其计算公式,后面给出推导过程。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数,则有:
当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5(取整)。
问题分析
显然,对于阶乘这个大数,我们不可能将其结果计算出来,再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。
我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数,若对其进行因式分解,那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里,每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意,一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”,因为还需要一个因子“2”,才能实现其一一对应。
我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论:
结论1: 对于n的阶乘n!,其因式分解中,如果存在一个因子“5”,那么它必然对应着n!末尾的一个“0”。
下面对这个结论进行证明:
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时,令n!= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a,其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4),a是一个不含因子“5”的整数。
对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k),都含有因子“5”,并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数,也就是说,a中存在一个因子“2”与5i相对应。即,这里的k个因子“5”与n!末尾的k个“0”一一对应。
我们进一步把n!表示为:n!= 5^k * k! * a(公式1),其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法,得出结论1。
上面证明了n的阶乘n!末尾的“0”与n!的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说,计算n的阶乘n!末尾的“0”的个数,可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数,则利用上面的的结论1和公式1有:
f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以,最终的计算公式为:
当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5(取整)。
计算举例
f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数,则有:
当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5(取整)。
问题分析
显然,对于阶乘这个大数,我们不可能将其结果计算出来,再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。
我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数,若对其进行因式分解,那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里,每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意,一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”,因为还需要一个因子“2”,才能实现其一一对应。
我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论:
结论1: 对于n的阶乘n!,其因式分解中,如果存在一个因子“5”,那么它必然对应着n!末尾的一个“0”。
下面对这个结论进行证明:
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时,令n!= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a,其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4),a是一个不含因子“5”的整数。
对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k),都含有因子“5”,并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数,也就是说,a中存在一个因子“2”与5i相对应。即,这里的k个因子“5”与n!末尾的k个“0”一一对应。
我们进一步把n!表示为:n!= 5^k * k! * a(公式1),其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法,得出结论1。
上面证明了n的阶乘n!末尾的“0”与n!的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说,计算n的阶乘n!末尾的“0”的个数,可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数,则利用上面的的结论1和公式1有:
f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以,最终的计算公式为:
当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5(取整)。
计算举例
f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
<script src="https://code.csdn.net/snippets/431224.js" type="text/javascript"></script>
声明:以上内容来自用户投稿及互联网公开渠道收集整理发布,本网站不拥有所有权,未作人工编辑处理,也不承担相关法律责任,若内容有误或涉及侵权可进行投诉: 投诉/举报 工作人员会在5个工作日内联系你,一经查实,本站将立刻删除涉嫌侵权内容。