多普勒失真信号重采样的Matlab仿真分析

应用场景

• 水声通信指的是使用声信号在水中传输数据。相对而言，电磁信号在水中吸收严重衰减过快，光信号受水中悬浮颗粒的影响，也无法完成远距离传输。这两种信号的传播距离约为数百米，而声信号在水中传播距离达到数十千米，成为水下通信的首选方式。
• 水声通信的一个重大挑战就是运动带来的多普勒。多普勒造成信号的频率漂移，影响系统性能，因此非常有必要消除多普勒带来的影响。而多普勒在时域的表现为信号的长度压缩和扩展，即‘y(t) = x((1+a) * t)‘，其中a为多普勒因子。而如果估计出多普勒因子，之后采用重采样技术就可以恢复得到原始信号x(t) = y( t/(a+a) )。
• 重采样的意义就是插值，从一个信号插值得到多普勒影响前后的信号。而1+a一般为小数，虽然采用多相滤波可以达到很好的插值效果，但复杂度太高。相比之下，线性插值、样条插值等方式运算量小，在做数字系统的时候更加合适

  Matlab一维插值

• MATLAB中的插值函数为interp1(),其调用格式为 yi=interp1(x,y,xi, ‘method‘)。其中x,y为观测数据点,xi为插值(自变量)向量,yi为xi的插值结果(函数值)。
• ‘method‘表示采用的插值方法。取值‘nearest‘为最邻近插值，‘linear‘是线性插值，‘spline‘是三次样条插值，‘cubic‘为分段三次Hermite插值。默认情况为线性插值，三次样条效果最平滑，三次效果多项式介于两者之间。
• 线性插值：通过所在位置相邻两点的值来插值。已知f(a)和f(c)，b在a,c中间，求f(b)的公式为：f(b) = f(a) + (b-a)/(c-a) *[f(c) - f(a)]。
• 分段三次Hermite插值：分段让邻近两点的导数相同，曲线更平滑。
• 样条插值：样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免龙格现象。

  线性插值的误差

• 插值不免会造成信号失真，定义原始信号功率与噪声功率的比值为信干比，计算公式为：SDR = 10 * log10( power(x(t)) / power(x(t) - x‘(t) )。x‘(t)为插值后得到的信号。
• 而对于线性插值，SDR与信号采样频率fs和信号频率f的比值有近似如下关系：SDR(dB) = 40 * log10( fs/f /2 )。

  仿真对比

  代码如下。
• 首先设置多普勒因子dop，插值方法，采样率与信号频率的比例ns。最小值取2，对应奈奎斯特频率。
• 之后对于每个ns值，生成相应的初始信号a，之后插值以对信号添加多普勒。因spline方法造成的误差最小，选择作为添加多普勒的方法。
• 采用不同的插值方法去除多普勒。因为插值造成信号长度变化，每次都只略去尾部6000个数据点。
• 之后画图，每个ns对应一张图，并注明实测SDR以及线性插值的理论SDR值以作对比。

dop = 0.05;
intermethod = ‘nearest‘;% nearest linear cubic spline 

%n: fs / fc
ns = 2:7;
figure;

for n = ns
    a = sin(2*pi*(1+rand():1:50000)/n);

    b=interp1([0:length(a)-1],a,[1-1:length(a)-6000-1]*(1+dop),‘spline‘);

    c=interp1([1-1:length(b)-1],b,[1-1:length(b)-6000-1]/(1+dop),intermethod);

    subplot(3,ceil(length(ns)/3),n-1);
    plot(a(29901:30000));
    hold on;
    plot(c(29901:30000),‘r‘);

    error = sum(abs(a(1:30000)-c(1:30000)) .^2) / sum(abs(a(1:30000)) .^2);
    title([‘fs/fc = ‘,num2str(n),‘ SDR = ‘,num2str(10*log10(1/error)), ‘dB VS‘, num2str(40*log10(n/2)),‘ dB‘])

end

仿真结果分析

• 临近点插值仿真结果：性能极差，无法使用。
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• 线性插值仿真结果：可见与理论值符合的较好。
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• 分段三次Hermite插值插值仿真结果：大约提高5dB，但带来的是大量的计算。
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• 三次样条插值仿真结果：性能非常好，但最复杂。因为添加多普勒时也采用了样条插值，仿真结果加上3dB才应该是理论结果。
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  结论

  如果采用重采样来去除多普勒带来的影响，并且采用较为实用的线性插值法，若要达到约19dB的通信信噪比要求，需要提高采样率至少为6倍信号频率。
  　　
  　　
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