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重温数据结构：二叉排序树的查找、插入、删除

2024-08-22 04:43:43   223人阅读

读完本文你将了解到：

    • 什么是二叉排序树 Binary Sort Tree BST
    • 二叉排序树的关键操作
      • 查找
      • 插入
      • 删除
    • 运行代码测试
    • 一道面试题
    • 总结
    • Thanks

我们知道，二分查找可以缩短查找的时间，但是有个要求就是 查找的数据必须是有序的。每次查找、操作时都要维护一个有序的数据集，于是有了二叉排序树这个概念。

上篇文章 我们介绍了 二叉树 的概念，二叉树有左右子树之分，想必在区分左右子树时有一定的规则。

现在我们来介绍二叉树的一种特殊形式 — 二叉排序树，了解它的区分策略及常用操作。

什么是二叉排序树 Binary Sort Tree, BST

二叉排序树，又称二叉查找树、二叉搜索树、B树。

二叉排序树是具有下列性质的二叉树：

  • 若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
  • 若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值；
  • 左、右子树也分别为二叉排序树。

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也就是说，二叉排序树中，左子树都比节点小，右子树都比节点大，递归定义。

根据二叉排序树这个特点我们可以知道，二叉排序树的中序遍历一定是从小到大的，比如上图，中序遍历结果是：

1 3 4 6 7 8 10 13 14

二叉排序树的关键操作

1.查找

根据二叉排序树的定义，我们可以知道在查找某个元素时：

  • 先比较它与根节点，相等就返回；或者根节点为空，说明树为空，也返回；
  • 如果它比根节点小，就从根的左子树里进行递归查找；
  • 如果它比根节点大，就从根的右子树里进行递归查找。

可以看到，这就是一个 二分查找。

代码实现：

public class BinarySearchTree {
    private BinaryTreeNode mRoot;   //根节点

    public BinarySearchTree(BinaryTreeNode root) {
        mRoot = root;
    }

    /**
     * 在整个树中查找某个数据
     *
     * @param data
     * @return
     */
    public BinaryTreeNode search(int data) {
        return search(mRoot, data);
    }

    /**
     * 在指定二叉排序树中查找数据
     *
     * @param node
     * @param data
     * @return
     */
    public BinaryTreeNode search(BinaryTreeNode node, int data) {
        if (node == null || node.getData() == data) {    //节点为空或者相等，直接返回该节点
            return node;
        }
        if (data < node.getData()) {    //比节点小，就从左子树里递归查找
            return search(node.getLeftChild(), data);
        } else {        //否则从右子树
            return search(node.getRightChild(), data);
        }
    }
}

可以看到，在二叉排序树中查找是十分简单的，但是这依赖于每次插入、删除元素时对整个 排序树 结构的维护。

2.插入

二叉树中的插入，主要分两步：查找、插入：

  • 先查找有没有整个元素，有的话就不用插入了，直接返回；
  • 没有就插入到之前查到（对比）好的合适的位置。

插入时除了设置数据，还需要跟父节点绑定，让父节点意识到有你这个孩子：比父节点小的就是左孩子，大的就是右孩子。

代码实现：

/**
 * 插入到整个树中
 *
 * @param data
 */
public void insert(int data) {
    if (mRoot == null) {     //如果当前是空树，新建一个
        mRoot = new BinaryTreeNode();
        mRoot.setData(data);
        return;
    }

    searchAndInsert(null, mRoot, data);     //根节点的父亲为 null

}

/**
 * 两步走：查找、插入
 *
 * @param parent 要绑定的父节点
 * @param node   当前比较节点
 * @param data   数据
 */
private BinaryTreeNode searchAndInsert(BinaryTreeNode parent, BinaryTreeNode node, int data) {
    if (node == null) {  //当前比较节点为 空，说明之前没有这个数据，直接新建、插入
        node = new BinaryTreeNode();
        node.setData(data);
        if (parent != null) {    //父节点不为空，绑定关系
            if (data < parent.getData()) {
                parent.setLeftChild(node);
            } else {
                parent.setRightChild(node);
            }
        }
        return node;
    }
    //对比的节点不为空
    if (node.getData() == data) {    //已经有了，不用插入了
        return node;
    } else if (data < node.getData()) {   //比节点小，从左子树里查找、插入
        return searchAndInsert(node, node.getLeftChild(), data);
    } else {
        return searchAndInsert(node, node.getRightChild(), data);
    }
}

3.删除 *

插入操作和查找比较类似，而删除则相对复杂一点，需要根据删除节点的情况分类来对待：

  • 如果要删除的节点正好是叶子节点，直接删除就 Ok 了；
  • 如果要删除的节点还有子节点，就需要建立父节点和子节点的关系：
    • 如果只有左孩子或者右孩子，直接把这个孩子上移放到要删除的位置就好了；
    • 如果有两个孩子，就需要选一个合适的孩子节点作为新的根节点，该节点称为 继承节点。

新节点要求要比所有左子树大，比所有右子树小，怎么选择呢？

**要比所有左子树的值大、右子树小，就从右子树里找最小的好了；
同样也可以从左子树里找最大的。**

两种选择方法都可以，本文选用右子树里最小的节点，也就是右子树中最左边的节点。

代码实现：

/**
 * 在整个树中 查找指定数据节点的父亲节点
 *
 * @param data
 * @return
 */
public BinaryTreeNode searchParent(int data) {
    return searchParent(null, mRoot, data);
}

/**
 * 在指定节点下 查找指定数据节点的父亲节点
 *
 * @param parent 当前比较节点的父节点
 * @param node   当前比较的节点
 * @param data   查找的数据
 * @return
 */
public BinaryTreeNode searchParent(BinaryTreeNode parent, BinaryTreeNode node, int data) {
    if (node == null) { //比较的节点为空返回空
        return null;
    }
    if (node.getData() == data) {    //找到了目标节点，返回父节点
        return parent;
    } else if (data < node.getData()) {   //数据比当前节点小，左子树中递归查找
        return searchParent(node, node.getLeftChild(), data);
    } else {
        return searchParent(node, node.getRightChild(), data);
    }
}

/**
 * 删除指定数据的节点
 *
 * @param data
 */
public void delete(int data) {
    if (mRoot == null || mRoot.getData() == data) {  //根节点为空或者要删除的就是根节点，直接删掉
        mRoot = null;
        return;
    }
    //在删除之前需要找到它的父亲
    BinaryTreeNode parent = searchParent(data);
    if (parent == null) {        //如果父节点为空，说明这个树是空树，没法删
        return;
    }

    //接下来该找要删除的节点了
    BinaryTreeNode deleteNode = search(parent, data);
    if (deleteNode == null) {    //树中找不到要删除的节点
        return;
    }
    //删除节点有 4 种情况
    //1.左右子树都为空，说明是叶子节点，直接删除
    if (deleteNode.getLeftChild() == null && deleteNode.getRightChild() == null) {
        //删除节点
        deleteNode = null;
        //重置父节点的孩子状态，告诉他你以后没有这个儿子了
        if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
            parent.setLeftChild(null);
        } else {
            parent.setRightChild(null);
        }
        return;
    } else if (deleteNode.getLeftChild() != null && deleteNode.getRightChild() == null) {
        //2.要删除的节点只有左子树，左子树要继承位置
        if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
            parent.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
        } else {
            parent.setRightChild(deleteNode.getLeftChild());
        }
        deleteNode = null;
        return;
    } else if (deleteNode.getRightChild() != null && deleteNode.getRightChild() == null) {
        //3.要删除的节点只有右子树，右子树要继承位置
        if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
            parent.setLeftChild(deleteNode.getRightChild());
        } else {
            parent.setRightChild(deleteNode.getRightChild());
        }

        deleteNode = null;
    } else {
        //4.要删除的节点儿女双全，既有左子树又有右子树，需要选一个合适的节点继承，这里使用右子树中最左节点
        BinaryTreeNode copyOfDeleteNode = deleteNode;   //要删除节点的副本，指向继承节点的父节点
        BinaryTreeNode heresNode = deleteNode.getRightChild(); //要继承位置的节点，初始为要删除节点的右子树的树根
        //右子树没有左孩子了，他就是最小的，直接上位
        if (heresNode.getLeftChild() == null) {
            //上位后，兄弟变成了孩子
            heresNode.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
        } else {
            //右子树有左孩子，循环找到最左的，即最小的
            while (heresNode.getLeftChild() != null) {
                copyOfDeleteNode = heresNode;       //copyOfDeleteNode 指向继承节点的父节点
                heresNode = heresNode.getLeftChild();
            }
            //找到了继承节点，继承节点的右子树（如果有的话）要上移一位
            copyOfDeleteNode.setLeftChild(heresNode.getRightChild());
            //继承节点先继承家业，把自己的左右孩子变成要删除节点的孩子
            heresNode.setLeftChild(deleteNode.getLeftChild());
            heresNode.setRightChild(deleteNode.getRightChild());
        }
        //最后就是确认位置，让要删除节点的父节点认识新儿子
        if (parent.getLeftChild() != null && parent.getLeftChild().getData() == data) {
            parent.setLeftChild(heresNode);
        } else {
            parent.setRightChild(heresNode);
        }
    }
}

运行代码测试

可以看到，二叉排序树的查找、添加较简单，删除逻辑比较多，我们以下图为例：

技术分享

测试代码：

@Test
public void delete() throws Exception {
    //乱序插入到二叉排序树中
    BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree(null);
    binarySearchTree.insert(8);
    binarySearchTree.insert(3);
    binarySearchTree.insert(1);
    binarySearchTree.insert(6);
    binarySearchTree.insert(4);
    binarySearchTree.insert(7);
    binarySearchTree.insert(10);
    binarySearchTree.insert(13);
    binarySearchTree.insert(14);

    //中序遍历
    binarySearchTree.iterateMediumOrder(binarySearchTree.getRoot());
    System.out.println("");
    //查找某个数据
    System.out.println(binarySearchTree.search(10).getData());
    //删除某个数据对应的元素
    binarySearchTree.delete(6);
    //中序遍历删除后的二叉排序树
    binarySearchTree.iterateMediumOrder(binarySearchTree.getRoot());
}

运行结果：

技术分享

一道面试题

输入一棵二元查找树，将该二元查找树转换成一个排序的双向链表。要求不能创建任何新的结点，只调整指针的指向。 比如将二元查找树：

                                        10
                                      /                                        6       14
                                  /  \     /　                                4     8  12 　  16

转换成双向链表后为：4=6=8=10=12=14=16

解析：
这题据说是微软的面试题，乍看起来貌似很麻烦，又是二叉排序树又是双向链表的，其实考察的都是很基础的东西，明眼人一看就发现只要将这棵树中序遍历后就是将二叉树节点排序（不然它为啥叫二叉排序树呢…），那么我们只要将这棵树中序遍历，遍历到一个节点就将该节点的左指针指向上一个遍历的节点，并将上一个遍历的节点的右指针指向现在正在遍历的节点，那么当我们遍历完整棵树后，我们的双向链表也改好啦！这样既不用添加多余节点，也不用添加多余的指针变量。

该题转自：http://blog.renren.com/share/249404913/6219142584

你可以写下代码试试。

总结

　　二叉排序树的性能取决于二叉树的层数：

  • 最好的情况是 O(logn)，存在于完全二叉排序树情况下，其访问性能近似于折半查找；
  • 最差时候会是 O(n)，比如插入的元素是有序的，生成的二叉排序树就是一个链表，这种情况下，需要遍历全部元素才行（见下图 b）。

技术分享

Thanks

《轻松学算法》

http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6530142/
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6543438

http://baike.baidu.com/link?url=gGnlVdkdSIFg9RINW2I9PC-H26Vonbo4yOH0wiCgGzBoVb540EBqF2-5ho1Sx2ImSckufU8WeiFjTRnL0Mu648kVIJHhaIfiOx5CKgKtDPrNhiAJ5lQ0CFhWoe-CWRAf-sIQJZHZdAysqGIgHfsga_

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