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[数分笔记]问题1.1 T1

题目:非负整数a,b使得为整数,求证这个整数必是某一整数的平方。(1988年第29届国际数学奥林匹克竞赛试题)

证明:设k=,k为非负整数

        1°a=b

            k=2a²/(1+a²)=2-2/(1+a²)  故k∈[0,2) ,所以k=0或1

            故k是平方数;

        2°不妨设a>b>=0

            若b=0,k=a²,故k是平方数;

            a>b>0时,讨论二次方程x²-kbx+b²-k=0

            已知其中一个根是a,设另一个根是a1

            韦达定理:a+a1=kb ①  故a1为整数

                          a a1=b²-k ②   

            ②可知a1 = (b²-k)/a < b²/a = b/a *b < b

            假设a1<0 , 0=a1²+b²-a1 bk-k >= a1²+b² > 0  推出矛盾,故a1>=0

            若a1=0,②可知k=b²,故k是平方数;

            a1>0,b>a1>0   ①②可知k=(a1²+b²)/(1+a1 b)

            重复上述过程,可以找到整数b1,满足b>a1>b1,并使k=(a1²+b1²)/(1+a1 b1)

            又回到了原来的情况,这时候有a>b>a1>b1,显然不能无限进行下去,故必然有一个ai=0或bi=0

            故k是平方数。