本文针对一个倒立摆系统进行了系统的建模、求解、控制系统的设计，并且使用Simulink对控制算法进行了仿真。

一、模型的描述

倒立摆系统如图（1），设有一个倒立摆装在只能沿轴方向移动的小车上，图中为小车的质量，为摆球的质量，为重力加速度，为摆长，为摆的转动惯量。当小车受到外力的作用时，小车产生位移，且摆产生角位移。

二、模型的建立

下面针对该倒立摆系统进行建模求解。

当小车在外力作用下产生位移时，摆球受力情况如图（2）所示。图中为摆球所受重力，为方向的惯性力，为垂直于摆杆方向的重力分量。在方向上，小车的惯性力矩为，摆球产生的位移量为；在垂直于摆杆的方向上，摆球的转动惯性力为；的分力为。

图（1）装有倒立摆的小车              图（2）倒立摆受力图

根据牛顿运动定律，按照力的平衡原理，可以分别列出该系统在方向上和垂直于摆杆方向上的的运动方程

                         （1）

                           （2）

三、模型的求解

3.1微分方程组的求解

联立式（1）、（2），经过方程组的恒等变形得

  （3）

            （4）

由式（3）、（4）令，可建立如下的微分方程组进行求解

3.2控制系统的分析与设计

在该模型中，对该倒立摆系统实施角度环、速度换的控制，并假设小车在运行过程中受到空气阻力，阻力大小与小车的速度成正比。通过调整的大小，达到在维持倒立摆保持平衡的条件下，使小车维持在给定的目标速度下。即控制目标有

下面就角度环和速度环分别介绍控制过程。

（1）角度环

为了使倒立摆能够保持平衡，首先就需要对摆的角位移进行控制。由于控制目标是角位移为零，自然需要引入角度反馈。首先考虑引入P控制。当有角度的偏差（假设偏差为正），P控制将会产生一个向前的推力，使角度回复为零。但是为了避免角度的来回震荡，需要引入一个阻尼项，即微分控制。只要角度有变化，微分控制便产生作用以阻碍角度的变化。综上，角度环采用PD控制，采取的为

                                            （5）

在Simulink模型中通过调整Pa、Da参数来调节角度的控制。

（2）速度环

倒立摆系统的速度控制是一个难点。其与通常的负反馈不同。因为系统首要的任务是要保持平衡，因此系统的回复力应占据主导地位。而倒立摆系统要想获得速度，首先得有加速度，即必须得打破自身的平衡。换句话说，倒立摆系统是以牺牲部分的平衡为代价来换取速度的稳定。因此，倒立摆系统速度控制的大致思路是：若小车想获得向前的速度，首先小车得受到一个向后的力。当角度平衡被打破后，占据主导地位的回复力将会使小车向前加速，以使角位移恢复为零。当小车再次平衡后，已经具有了向前的速度。通过这样不断地干扰系统的平衡，小车最终将会达到并稳定地保持在设定速度附近。若小车想获得向后的速度，反之即可。

通过上面的分析可以得出结论，速度控制对于角度控制来说是一个弱干扰，并且是反向的。为了更加逼近真实的系统，假设小车在前进的过程中会受到空气阻力，其大小与速度成正比，即。由于模型中引入了空气阻力，会使速度控制产生静差，为了消除静差，速度环加入积分控制。综上，速度环的控制策略为PI控制，采取的为

                    （6）

在Simulink模型中通过调整Psp、Isp参数来调节速度的控制。

综合（5）、（6）式，并考虑空气阻力，可得

（7）

将（7）式带入上述微分方程组，便可以用Simulink进行求解。

3.3 Simulink模型的搭建

建立Simulink模型如图（3）所示：

图（3）

在建模过程中，使该模型文件（DaoLiBai.slx）与MATLAB的m文件（InitParam.m）建立连接，在该文件中完成倒立摆系统的参数初始化，该文件内容如下：

%本文件完成倒立摆系统的参数初始化

m1 = 3;                 %小车的质量（kg）

m2 = 10;                %摆球的质量（kg）

l = 0.05;               %摆长（m）

J = 3;                  %摆的转动惯量（kg*m^2）

setspeed = 100;         %小车的设定速度（m/s）

theta0 = 30;            %摆的初始角度（度）

st = 50;                %速度换的起始时间（s）

et = 400;               %仿真的结束时间（s）

3.4控制系统的参数分析

以下是求解得到的一些曲线（图中红色为，黄色为，蓝色为）：

Pa = 150，Da = 15，Psp = 0.2，Isp = 0.002，Kf = 0.1（基准参数）

Pa = 150，Da = 15，Psp = 0.2，Isp = 0.01，Kf = 0.1

Pa = 200，Da = 15，Psp = 0.2，Isp = 0.002，Kf = 0.1

Pa = 150，Da = 25，Psp = 0.2，Isp = 0.002，Kf = 0.1

Pa = 150，Da = 15，Psp = 0.15，Isp = 0.002，Kf = 0.1

从以上参数的对比中可以发现，Pa增大可以减小角度的波动范围，但会使小车速度的波动变大；Da增大可以抑制角度的变化；Psp减小会导致速度波动变大，但角度的波动会减小；Isp增大会使速度出现震荡，也会使角度的波动变大。综上，Pa，Psp，Isp过大都会使系统不稳定，三者都会使一项性能（角度或速度）得到改善，而使另一项性能（速度或角度）变差，因此在实际应用中只能根据需要采取折中的策略。

四 Simulink各模块的代码

Fcn2: m2^2 * l^2 * sin(u(2)) * cos(u(2)) * (u(3)^2) - (m1 + m2) * m2 * 10 * l * sin(u(2))

Fcn4: 2 * J * m2 * l * sin(u(2)) * u(2)^2 - m2^2 * l^2 * 10 * sin(2 * u(2))

Fcn5: 2 * ((m1 + m2) * J - m2^2 * l^2 * (cos(u(2)))^2)

Fcn11: m2^2 * l^2 * (cos(u(2)))^2 - (m1 + m2) * J

Fcn8: -(setspeed * (u(1) > st) - u(5))

Gain1: 2 * J

Gain4: m2 * l

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