[学习笔记]背包问题(一)

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2024-08-23 14:51:41 238人阅读

01背包

有 $技术分享$ 件物品和一个容量为 $技术分享$ 的背包.第 $技术分享$ 件物品体积为 $技术分享$ ,价值为 $技术分享$ .

求背包最大价值.

$技术分享$ 表示前 $技术分享$ 种物品体积为 $技术分享$ 的最大价值,

$技术分享$ .

时间复杂度 $技术分享$ .

优化空间复杂度

$技术分享$ 表示体积为 $技术分享$ 的最大价值,

$技术分享$ (从大到小枚举 $技术分享$ ).

多重背包

有 $技术分享$ 件物品和一个容量为 $技术分享$ 的背包。第 $技术分享$ 种物品最多有 $技术分享$ 件可用，体积为 $技术分享$ ，价值为 $技术分享$ .求背包最大价值.

$技术分享$ 表示前 $技术分享$ 种物品体积为 $技术分享$ 的最大价值,

$技术分享$

时间复杂度 $技术分享$ .

二进制拆分

将 $技术分享$ 拆成 $技术分享$ ,

则在其中任意选取多个数,其和 $技术分享$

$技术分享$ 间的数都可以通过选取其中多个数得到.

证明:

因为每个十进制数都可拆成二进制数, 技术分享分别代表二进制某一位上的 $技术分享$ ,

所以 $技术分享$ 间的数都可以取到.

加上 $技术分享$ 后, $技术分享$ 间的数都可以取到.

因为 $技术分享$ ,即 $技术分享$ ,

所以 $技术分享$ ,即 $技术分享$ .

所以 $技术分享$ .

例题

Description

设有 $技术分享$ 的砝码各若干枚（其总重 $技术分享$ ）要求：计算用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。

Input

一行，包括六个正整数 $技术分享$ ，表示 $技术分享$ 砝码有 $技术分享$ 个， $技术分享$ 砝码有 $技术分享$ 个... $技术分享$ 砝码有 $技术分享$ 个。相邻两个整数之间用单个空格隔开。

Output

以 $技术分享$ 的形式输出，其中 $技术分享$ 为可以称出的不同重量的个数。

Sample Input

1 1 0 0 0 0

Sample Output

Total=3

Solution

多重背包二进制拆分+注意输出格式。

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M 100005
using namespace std;
int a[7]={0,1,2,3,5,10,20};
int w[N],n,ans;bool f[N][M];
inline void init(){    
    for(int i=1,s,k;i<=6;++i){
        scanf("%d",&s);k=s;
        for(int j=1;k>=j;j<<=1,k>>=1){
            w[++n]=j*a[i];s-=j;
        }
        if(s) w[++n]=s*a[i];
    }
    f[0][0]=true;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<w[i];++j)
            f[i][j]=f[i-1][j];
        for(int j=w[i];j<M;++j)
            f[i][j]=(f[i-1][j]||f[i-1][j-w[i]]);
    }
    for(int j=1;j<M;++j)
        if(f[n][j]) ++ans;
    printf("Total=%d\n",ans);
}
int main(){
    freopen("weight.in","r",stdin);
    freopen("weight.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout); 
    return 0;
}