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背包问题

2024-07-30 11:11:28   240人阅读

01背包：

是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。适合作为动态规划求解。
n个重量为Wi的物品，从中选择若干个使得最终重量v<=w的情况下的价值最大。
输入：
n：样品个数
wi：重量
vi：价值
W:不可超过的重量。
n=4:
(w,v)={(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}
w=5;
输出：7
#include <iostream>

using namespace std;
const int MAX=100;
int dp[MAX][MAX];
int w[MAX],v[MAX];
int n,W;
//正序
void slove(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=W;j++){
            if(j<w[i]){
                dp[i+1][j] = dp[i][j];
            }else{
                dp[i+1][j] = max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][W]<<endl;
}
//倒序
void slove1(){
    int i,j;
    for(i=n-1;i>=0;i--){
        for(j=0;j<=W;j++){
            if(j<w[i]){
                dp[i][j] = dp[i+1][j];
            }else{
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[0][W]<<endl;
}
int main()
{
    cin>>n>>W;
    for(int k=0;k<n;k++)
        cin>>w[k]>>v[k];
    //slove();
    slove1();

    return 0;
}

完全背包：

对应n见物品，对应索取出的个数不加以限定
n=3；
(w,v) = {(3,4),(4,5),(2,3)}
w=7;
输出：10；
一个简单算法，不需要考虑每件物品的个数
#include <iostream>

using namespace std;
/**
    完全背包推导：
    dp[i+1][j] = max(dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i],k>=0)
        dp[i+1][j] = max(dp[i][j],dp[i][j-k*w[i]]+k*v[i],k>=1)
        dp[i+1][j] = max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]-k*w[i]]+k*v[i]+v[i],k>=0)
        dp[i+1][j] = max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
*/
const int MAX = 100;
int n,W;
int dp[MAX][MAX];
int w[MAX],v[MAX];

void slove(){
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<=W;j++){
            if(j<w[i])
                dp[i+1][j] = dp[i][j];
            else
                dp[i+1][j] = max(dp[i][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);        }
    }
    cout<<dp[n][W]<<endl;
}
int main()
{
    cin>>n>>W;
    for(int k=0;k<n;k++)
        cin>>w[k]>>v[k];
    slove();

    return 0;
}

上面的情况还可以使用一维数组来实现：
int dp[MAX];
/*
01背包
void slove1(){
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=W;j>=w[i];j--){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<dp[W]<<endl;
}
*/
void slove1(){
    //完全背包 不需要考虑dp[i+1]状态 只是从重量的角度出发
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=w[i];j<=W;j++){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
        }
    }
    cout<<dp[W]<<endl;
}


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