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网络流24题 餐巾计划问题
题目描述
一个餐厅在相继的 N 天里，每天需用的餐巾数不尽相同。假设第 i 天需要 ri块餐巾(i=1，2，…，N)。餐厅可以购买新的餐巾，每块餐巾的费用为 p 分；或者把旧餐巾送到快洗部，洗一块需 m 天，其费用为 f 分；或者送到慢洗部，洗一块需 n 天(n>m)，其费用为 s<f 分。每天结束时，餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部，多少块餐巾送到慢洗部，以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和，要满足当天的需求量。试设计一个算法为餐厅合理地安排好 N 天中餐巾使用计划，使总的花费最小。编程找出一个最佳餐巾使用计划.
输入输出格式
输入格式：
第 1 行有 6 个正整数 N,p,m,f,n,s。N 是要安排餐巾使用计划的天数；p 是每块新餐巾的费用；m 是快洗部洗一块餐巾需用天数；f 是快洗部洗一块餐巾需要的费用；n 是慢洗部洗一块餐巾需用天数；s 是慢洗部洗一块餐巾需要的费用。接下来的 N 行是餐厅在相继的 N 天里，每天需用的餐巾数。
输出格式：
程序运行结束时，将餐厅在相继的 N 天里使用餐巾的最小总花费输出
输入输出样例
输入样例#1：
3 10 2 3 3 2567
输出样例#1：
145
BYVOID：
【问题分析】
网络优化问题，用最小费用最大流解决。
【建模方法】
把每天分为二分图两个集合中的顶点Xi,Yi，建立附加源S汇T。
1、从S向每个Xi连一条容量为ri，费用为0的有向边。
2、从每个Yi向T连一条容量为ri，费用为0的有向边。
3、从S向每个Yi连一条容量为无穷大，费用为p的有向边。
4、从每个Xi向Xi+1(i+1<=N)连一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
5、从每个Xi向Yi+m(i+m<=N)连一条容量为无穷大，费用为f的有向边。
6、从每个Xi向Yi+n(i+n<=N)连一条容量为无穷大，费用为s的有向边。
求网络最小费用最大流，费用流值就是要求的最小总花费。
【建模分析】
这个问题的主要约束条件是每天的餐巾够用，而餐巾的来源可能是最新购买，也可能是前几天送洗，今天刚刚洗好的餐巾。每天用完的餐巾可以选择送到快洗部或慢洗部，或者留到下一天再处理。
经过分析可以把每天要用的和用完的分离开处理，建模后就是二分图。二分图X集合中顶点Xi表示第i天用完的餐巾，其数量为ri，所以从S向Xi连接容量为ri的边作为限制。Y集合中每个点Yi则是第i天需要的餐巾，数量为ri，与T连接的边容量作为限制。每天用完的餐巾可以选择留到下一天（Xi->Xi+1），不需要花费，送到快洗部(Xi->Yi+m)，费用为f，送到慢洗部(Xi->Yi+n)，费用为s。每天需要的餐巾除了刚刚洗好的餐巾，还可能是新购买的(S->Yi)，费用为p。
在网络上求出的最小费用最大流，满足了问题的约束条件（因为在这个图上最大流一定可以使与T连接的边全部满流，其他边只要有可行流就满足条件），而且还可以保证总费用最小，就是我们的优化目标。
主要的问题就是想到把要用的餐巾和用过的餐巾分开处理
拆点得到二分图，考虑两者的来源和去向，增加s和t求最大流
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>using namespace std;typedef long long ll;const int N=2005,M=1e6+5,INF=1e9;int read(){ char c=getchar();int x=0,f=1; while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1; c=getchar();} while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘; c=getchar();} return x*f;}int n,p,fn,fp,sn,sp,r[N],s,t;struct edge{ int v,ne,c,f,w;}e[M<<1];int cnt,h[N];inline void ins(int u,int v,int c,int w){ cnt++; e[cnt].v=v;e[cnt].c=c;e[cnt].f=0;e[cnt].w=w; e[cnt].ne=h[u];h[u]=cnt; cnt++; e[cnt].v=u;e[cnt].c=0;e[cnt].f=0;e[cnt].w=-w; e[cnt].ne=h[v];h[v]=cnt;}void build(){ s=0;t=n+n+1; for(int i=1;i<=n;i++){ ins(s,i,r[i],0); ins(i+n,t,r[i],0); ins(s,i+n,INF,p); if(i+1<=n) ins(i,i+1,INF,0); if(i+fn<=n) ins(i,i+n+fn,INF,fp); if(i+sn<=n) ins(i,i+n+sn,INF,sp); }}int d[N],q[N],head,tail,inq[N],pre[N],pos[N];inline void lop(int &x){if(x==N)x=1;else if(x==0) x==N-1;}bool spfa(){ memset(d,127,sizeof(d)); memset(inq,0,sizeof(inq)); head=tail=1; d[s]=0;inq[s]=1;q[tail++]=s; pre[t]=-1; while(head!=tail){ int u=q[head++];inq[u]=0;lop(head); for(int i=h[u];i;i=e[i].ne){ int v=e[i].v,w=e[i].w; if(d[v]>d[u]+w&&e[i].c>e[i].f){ d[v]=d[u]+w; pre[v]=u;pos[v]=i; if(!inq[v]){ inq[v]=1; if(d[v]<d[q[head]]) head--,lop(head),q[head]=v; else q[tail++]=v,lop(tail); } } } } return pre[t]!=-1;}int mcmf(){ int flow=0,cost=0; while(spfa()){ int f=INF; for(int i=t;i!=s;i=pre[i]) f=min(f,e[pos[i]].c-e[pos[i]].f); flow+=f;cost+=d[t]*f; for(int i=t;i!=s;i=pre[i]){ e[pos[i]].f+=f; e[((pos[i]-1)^1)+1].f-=f; } } return cost;}int main(int argc, const char * argv[]){ n=read();p=read();fn=read();fp=read();sn=read();sp=read(); for(int i=1;i<=n;i++) r[i]=read(); build(); printf("%d",mcmf());}
网络流24题 餐巾计划问题
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